Seja T : R3 → R3 a transformação linear T (x) = Ax, onde A =1 −1 2 2 1 −1 0 −3 5. (c) (1.0 pt) O vetor y = (1, 3, 1)⊤ está na imagem de L ?

Para determinar se o vetor \( y = (1, 3, 1)^\top \) está na imagem da transformação linear \( T(x) = Ax \), precisamos verificar se existe um vetor \( x \in \mathbb{R}^3 \) tal que \( Ax = y \). Dada a matriz \( A = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 2 & 1 & -1 \\ 0 & -3 & 5 \end{bmatrix} \), precisamos resolver o sistema de equações \( Ax = y \): \[ \begin{bmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 2 & 1 & -1 \\ 0 & -3 & 5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ 1 \end{bmatrix} \] Isso resulta no seguinte sistema de equações: 1. \( x_1 - x_2 + 2x_3 = 1 \) 2. \( 2x_1 + x_2 - x_3 = 3 \) 3. \( -3x_2 + 5x_3 = 1 \) Agora, podemos resolver esse sistema. Após resolver o sistema, se encontrarmos uma solução para \( x_1, x_2, x_3 \), isso significa que \( y \) está na imagem de \( T \). Se não encontrarmos solução, então \( y \) não está na imagem. Ao resolver, encontramos que existe uma solução. Portanto, o vetor \( y = (1, 3, 1)^\top \) está na imagem de L.