Julgue verdadeira ou falsa cada afirmação abaixo. Justifique!
(a) (0.7 pts) A transformação L : R3 → M2×3(R), L(x, y, z) = [x yz 0 0 y + z x], não é linear.

Question

Julgue verdadeira ou falsa cada afirmação abaixo. Justifique!
(a) (0.7 pts) A transformação L : R3 → M2×3(R), L(x, y, z) = [x yz 0 0 y + z x], não ...

Ed · Answer

Para julgar se a transformação $ L : \mathbb{R}^3 \to M_{2 \times 3}(\mathbb{R}) $ dada por $ L(x, y, z) = \begin{bmatrix} x & yz & 0 \ 0 & y + z & x \end{bmatrix} $ é linear, precisamos verificar duas propriedades:

1. **Aditividade**: $ L(u + v) = L(u) + L(v) $ para todos $ u, v \in \mathbb{R}^3 $.
2. **Homogeneidade**: $ L(cu) = cL(u) $ para todo $ u \in \mathbb{R}^3 $ e $ c \in \mathbb{R} $.

Vamos verificar a aditividade:

Seja $ u = (x_1, y_1, z_1) $ e $ v = (x_2, y_2, z_2) $. Então:

$$
L(u + v) = L((x_1 + x_2, y_1 + y_2, z_1 + z_2)) = \begin{bmatrix} x_1 + x_2 & (y_1 + y_2)(z_1 + z_2) & 0 \ 0 & (y_1 + y_2) + (z_1 + z_2) & x_1 + x_2 \end{bmatrix}
$$

Agora, calculando $ L(u) + L(v) $:

$$
L(u) = \begin{bmatrix} x_1 & y_1 z_1 & 0 \ 0 & y_1 + z_1 & x_1 \end{bmatrix}, \quad L(v) = \begin{bmatrix} x_2 & y_2 z_2 & 0 \ 0 & y_2 + z_2 & x_2 \end{bmatrix}
$$

$$
L(u) + L(v) = \begin{bmatrix} x_1 + x_2 & y_1 z_1 + y_2 z_2 & 0 \ 0 & (y_1 + z_1) + (y_2 + z_2) & x_1 + x_2 \end{bmatrix}
$$

Como $ (y_1 + y_2)(z_1 + z_2) \neq y_1 z_1 + y_2 z_2 $ em geral, a aditividade não é satisfeita.

Agora, vamos verificar a homogeneidade:

Seja $ c \in \mathbb{R} $:

$$
L(cu) = L((cx_1, cy_1, cz_1)) = \begin{bmatrix} cx_1 & (cy_1)(cz_1) & 0 \ 0 & cy_1 + cz_1 & cx_1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} cx_1 & c^2y_1z_1 & 0 \ 0 & c(y_1 + z_1) & cx_1 \end{bmatrix}
$$

E $ cL(u) $:

$$
cL(u) = c \begin{bmatrix} x_1 & y_1 z_1 & 0 \ 0 & y_1 + z_1 & x_1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} cx_1 & cy_1 z_1 & 0 \ 0 & c(y_1 + z_1) & cx_1 \end{bmatrix}
$$

Como $ L(cu) \neq cL(u) $ em geral, a homogeneidade também não é satisfeita.

Portanto, a afirmação é **falsa**: a transformação $ L $ não é linear.

Álgebra Linear

Algebra Linear Prova AV2

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Algebra Linear Prova AV2

Em P2 considere as bases B = {1+ t+ t2, 1− t+ t2, 1+ t− t2} e C = {1, t, t2}.
(b) (1.0 pt) Encontre [L]CC para L : P2 → P2 a transformação linear que satisfaz L(1 + t+ t2) = 1 + t, L(1− t+ t2) = t+ t2, L(1 + t− t2) = −1 + t2.

Seja T : R3 → R3 a transformação linear T (x) = Ax, onde A =1 −1 2 2 1 −1 0 −3 5.
(a) (1.0 pt) Encontre uma base para o núcleo N (L).

Seja T : R3 → R3 a transformação linear T (x) = Ax, onde A =1 −1 2 2 1 −1 0 −3 5.
(b) (1.0 pt) Encontre uma base para a imagem Im(L).

Seja T : R3 → R3 a transformação linear T (x) = Ax, onde A =1 −1 2 2 1 −1 0 −3 5.
(c) (1.0 pt) O vetor y = (1, 3, 1)⊤ está na imagem de L ?

Julgue verdadeira ou falsa cada afirmação abaixo. Justifique!
(b) (0.8 pts) Existe transformação linear sobrejetiva T : R3 → R2 cujo núcleo é o plano de equação x+ y + z = 0.

Julgue verdadeira ou falsa cada afirmação abaixo. Justifique!
(c) (0.5 pts) Se A é uma matriz quadrada diagonalizável, de ordem n, cujos auto-valores distintos são 1 e −1, então A2022 = In.

Seja L : R4 → R4 o operador linear L(x) = Ax, onde A = 1 0 1/2 0 0 1 0 −3/2 0 0 1/2 0 0 0 0 1/2 .
(a) (0.5 pts) Calcule os autovalores de L.

Seja L : R4 → R4 o operador linear L(x) = Ax, onde A = 1 0 1/2 0 0 1 0 −3/2 0 0 1/2 0 0 0 0 1/2 .
(d) (1.0 pt) Seja x0 = (3,−5,−9, 1)⊤. Mostre que a sequência de vetores x1 = L(x0), x2 = L(x1), x3 = L(x2), ... converge para um vetor x∗ e determine esse vetor.

Seja Refπ : R3 → R3 o operador de reflexão em torno do plano π: −x+ y = 0.
(a) (1.0 pt) Encontre uma base B = {v1,v2,v3} do R3 tal que [Refπ]BB =1 0 0 0 1 0 0 0 −1.

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Em P2 considere as bases B = {1+ t+ t2, 1− t+ t2, 1+ t− t2} e C = {1, t, t2}.(b) (1.0 pt) Encontre [L]CC para L : P2 → P2 a transformação linear que satisfaz L(1 + t+ t2) = 1 + t, L(1− t+ t2) = t+ t2, L(1 + t− t2) = −1 + t2.

Seja T : R3 → R3 a transformação linear T (x) = Ax, onde A =1 −1 2 2 1 −1 0 −3 5.(a) (1.0 pt) Encontre uma base para o núcleo N (L).

Seja T : R3 → R3 a transformação linear T (x) = Ax, onde A =1 −1 2 2 1 −1 0 −3 5.(b) (1.0 pt) Encontre uma base para a imagem Im(L).

Seja T : R3 → R3 a transformação linear T (x) = Ax, onde A =1 −1 2 2 1 −1 0 −3 5.(c) (1.0 pt) O vetor y = (1, 3, 1)⊤ está na imagem de L ?

Julgue verdadeira ou falsa cada afirmação abaixo. Justifique!(b) (0.8 pts) Existe transformação linear sobrejetiva T : R3 → R2 cujo núcleo é o plano de equação x+ y + z = 0.

Julgue verdadeira ou falsa cada afirmação abaixo. Justifique!(c) (0.5 pts) Se A é uma matriz quadrada diagonalizável, de ordem n, cujos auto-valores distintos são 1 e −1, então A2022 = In.

Seja L : R4 → R4 o operador linear L(x) = Ax, onde A = 1 0 1/2 0 0 1 0 −3/2 0 0 1/2 0 0 0 0 1/2 .(a) (0.5 pts) Calcule os autovalores de L.

Seja L : R4 → R4 o operador linear L(x) = Ax, onde A = 1 0 1/2 0 0 1 0 −3/2 0 0 1/2 0 0 0 0 1/2 .(d) (1.0 pt) Seja x0 = (3,−5,−9, 1)⊤. Mostre que a sequência de vetores x1 = L(x0), x2 = L(x1), x3 = L(x2), ... converge para um vetor x∗ e determine esse vetor.

Seja Refπ : R3 → R3 o operador de reflexão em torno do plano π: −x+ y = 0.(a) (1.0 pt) Encontre uma base B = {v1,v2,v3} do R3 tal que [Refπ]BB =1 0 0 0 1 0 0 0 −1.

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Seja T : R3 → R3 a transformação linear T (x) = Ax, onde A =1 −1 2 2 1 −1 0 −3 5.
(a) (1.0 pt) Encontre uma base para o núcleo N (L).

Seja T : R3 → R3 a transformação linear T (x) = Ax, onde A =1 −1 2 2 1 −1 0 −3 5.
(b) (1.0 pt) Encontre uma base para a imagem Im(L).

Seja T : R3 → R3 a transformação linear T (x) = Ax, onde A =1 −1 2 2 1 −1 0 −3 5.
(c) (1.0 pt) O vetor y = (1, 3, 1)⊤ está na imagem de L ?

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(b) (0.8 pts) Existe transformação linear sobrejetiva T : R3 → R2 cujo núcleo é o plano de equação x+ y + z = 0.

Julgue verdadeira ou falsa cada afirmação abaixo. Justifique!
(c) (0.5 pts) Se A é uma matriz quadrada diagonalizável, de ordem n, cujos auto-valores distintos são 1 e −1, então A2022 = In.

Seja L : R4 → R4 o operador linear L(x) = Ax, onde A = 1 0 1/2 0 0 1 0 −3/2 0 0 1/2 0 0 0 0 1/2 .
(a) (0.5 pts) Calcule os autovalores de L.

Seja L : R4 → R4 o operador linear L(x) = Ax, onde A = 1 0 1/2 0 0 1 0 −3/2 0 0 1/2 0 0 0 0 1/2 .
(d) (1.0 pt) Seja x0 = (3,−5,−9, 1)⊤. Mostre que a sequência de vetores x1 = L(x0), x2 = L(x1), x3 = L(x2), ... converge para um vetor x∗ e determine esse vetor.

Seja Refπ : R3 → R3 o operador de reflexão em torno do plano π: −x+ y = 0.
(a) (1.0 pt) Encontre uma base B = {v1,v2,v3} do R3 tal que [Refπ]BB =1 0 0 0 1 0 0 0 −1.