Seja L : R4 → R4 o operador linear L(x) = Ax, onde A = 1 0 1/2 0 0 1 0 −3/2 0 0 1/2 0 0 0 0 1/2 . (a) (0.5 pts) Calcule os autovalores de L.

Para calcular os autovalores do operador linear \( L(x) = Ax \), onde \( A \) é a matriz dada, precisamos resolver a equação característica: \[ \text{det}(A - \lambda I) = 0 \] onde \( \lambda \) é o autovalor e \( I \) é a matriz identidade de \( R^4 \). A matriz \( A \) é: \[ A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -\frac{3}{2} \\ 0 & 0 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \frac{1}{2} \end{bmatrix} \] Subtraindo \( \lambda I \): \[ A - \lambda I = \begin{bmatrix} 1 - \lambda & 0 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 1 - \lambda & 0 & -\frac{3}{2} \\ 0 & 0 & \frac{1}{2} - \lambda & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \frac{1}{2} - \lambda \end{bmatrix} \] Agora, calculamos o determinante: \[ \text{det}(A - \lambda I) = (1 - \lambda)(1 - \lambda)\left(\frac{1}{2} - \lambda\right)\left(\frac{1}{2} - \lambda\right) \] Igualando a zero: \[ (1 - \lambda)^2\left(\frac{1}{2} - \lambda\right)^2 = 0 \] Os autovalores são: 1. \( \lambda_1 = 1 \) (multiplicidade 2) 2. \( \lambda_2 = \frac{1}{2} \) (multiplicidade 2) Portanto, os autovalores de \( L \) são \( 1 \) e \( \frac{1}{2} \).