Seja T : R3 → R3 a transformação linear T (x) = Ax, onde A =1 −1 2 2 1 −1 0 −3 5. (b) (1.0 pt) Encontre uma base para a imagem Im(L).

Para encontrar uma base para a imagem da transformação linear \( T(x) = Ax \), onde \( A = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 2 & 1 & -1 \\ 0 & -3 & 5 \end{bmatrix} \), precisamos determinar as colunas da matriz \( A \) que são linearmente independentes. 1. Formar a matriz: A matriz \( A \) já está dada. 2. Reduzir a matriz: Vamos realizar a eliminação de Gauss para encontrar a forma escalonada da matriz. A matriz \( A \) é: \[ A = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 2 & 1 & -1 \\ 0 & -3 & 5 \end{bmatrix} \] Realizando operações de linha, podemos simplificar: - Subtraímos 2 vezes a primeira linha da segunda linha: \[ \begin{bmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 0 & 3 & -5 \\ 0 & -3 & 5 \end{bmatrix} \] - Agora, somamos a segunda linha à terceira linha: \[ \begin{bmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 0 & 3 & -5 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \] 3. Identificar as colunas pivô: As colunas que contêm os pivôs (os primeiros elementos não nulos de cada linha) são as colunas 1 e 2. 4. Base da imagem: As colunas correspondentes da matriz original \( A \) que formam a base da imagem são: \[ \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \\ -3 \end{bmatrix} \] Portanto, uma base para a imagem \( \text{Im}(L) \) é dada pelos vetores: \[ \left\{ \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \\ -3 \end{bmatrix} \right\} \]