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1 LISTA 2 - MAT 011 - maio/2013 (Profa. Patrícia) PARTE A - EQUAÇÕES DA RETA 1) Seja r a reta determinada pelos pontos A = (1, 0, 1) e B = (3,−2, 3). (a) Obtenha equações de r nas formas vetorial, paramétrica e simétrica. (b) Verifique se o ponto P = (−9, 10,−9) pertence a r. (c) Obtenha dois vetores diretores de r e dois pontos de r, distintos de A e B. 2) Obtenha equações paramétricas da reta que contém o ponto (1, 4,−7) e é paralela à reta de equações paramétricas x = 200− λ y = √ 3− 3λ z = 0 (λ ∈ R) 3) Mostre que as equações 2x− 1 3 = 1− y 2 = z + 1 descrevem uma reta, escrevendo-as de modo que possam ser reconhecidas como equações na forma simétrica. Exiba um ponto e um vetor diretor dessa reta. 4) Sejam A = (3, 6,−7), B = (−5, 2, 3) e C = (4,−7,−6). (a) Mostre que A, B e C são vértices de um triângulo. (b) Escreva equações paramétricas da reta que contém a mediana relativa ao vértice C. 5) Sejam A = (1, 2, 5) e B = (0, 1, 0). Determine o ponto P da reta ←→ AB tal que || −→ PB || = 3|| −→ PA ||. PARTE B - EQUAÇÕES DO PLANO 1) Seja pi o plano que contém o ponto A = (3, 7, 1) e é paralelo a → u= (1, 1, 1) e → v= (1, 1, 0). (a) Obtenha duas equações vetoriais de pi. (b) Obtenha equações paramétricas de pi. (c) Verifique se o ponto (1, 2, 2) pertence a pi. 2 (d) Verifique se o vetor → w= (2, 2, 5) é paralelo a pi. 2) Obtenha equações paramétricas do plano que contém o ponto A = (1, 1, 2) e é paralelo ao plano pi : x = 1 + λ+ 2µ y = 2λ+ µ z = −λ 3) Obtenha uma equação geral do plano pi descrito em cada caso: (a) pi contém o ponto A = (9,−1, 0) e é paralelo aos vetores →u= (0, 1, 0) e →v= (1, 1, 1). (b) pi contém os pontos A = (1, 0, 1), B = (−1, 0, 1) e C = (2, 1, 2). 4) Verifique se → u= (1, 2, 1) e → v= (3, 2, 3) são paralelos ao plano pi : 2x− 3y + 4z − 600 = 0. 5) Obtenha uma equação geral do plano que tem equações paramétricas: pi : x = −1 + 2λ− 3µ y = 1 + λ+ µ z = λ− µ (λ, µ ∈ R) 6) Obtenha as equações paramétricas do plano pi : x+ 2y − z − 1 = 0. PARTE C - INTERSEÇÃO ENTRE RETAS 1) Dados os pontos A = (1, 2, 1) e B = (3, 0,−1), verifique se são concorrentes as retas ←→ AB e r : (x, y, z) = (3, 0,−1) + λ(1, 1, 1). Se forem, obtenha o ponto de interseção. 2) As equações (x, y, z) = (0, 0, 0) + tα(1, 2, 4) e (x, y, z) = (1, 0,−2) + t(−1,−1,−1), t ∈ R, descrevem os movimentos de duas partículas. Determine o valor de α para que haja colisão. Em que instante ela ocorre? 3) Verifique se r e s são concorrentes e, se forem, obtenha o ponto de interseção: (a) r : x = −4λ y = 1 + 8λ z = 1− 2λ e s : x− 1 = y − 4 = z. 3 (b) r : x− 2 2 = y − 3 3 = z e s : x = y 3 = 1 + z 2 . (c) r : (x, y, z) = (3,−1, 2) + λ(−2, 3, 1) e s : (x, y, z) = (9,−10,−1) + λ(4,−6,−2). 4) A altura e a mediana relativas ao vértice B do triângulo ABC estão contidas, respectiva- mente, em r : (x, y, z) = (−6, 0, 3) + λ(3, 2, 0) e s : (x, y, z) = (0, 0, 3) + λ(3,−2, 0). Sendo C = (4,−1, 3), determine A e B. PARTE D - INTERSEÇÃO ENTRE RETA E PLANO 1) Obtenha a interseção da reta r com o plano pi: (a) r : (x, y, z) = (0, 0, 1) + α(2, 1,−3) e pi : (x, y, z) = (1, 0, 0) + λ(1, 0, 0) + µ(0, 1, 1). (b) r : x 3 = y − 1 2 = z − 3 8 e pi : 2x+ y − z − 6 = 0. (c) r : (x, y, z) = (2, 3, 1) + α(1,−1, 4) e pi : (x, y, z) = (−4,−6, 2) + λ(2, 1, 3) + µ(3, 3, 2). (d) r : (x, y, z) = (1, 0, 1) + α(2, 1, 3) e pi : x+ y + z = 20. PARTE E - INTERSEÇÃO ENTRE DOIS PLANOS 1) Determine a interseção dos planos pi1 e pi2. Quando se tratar de uma reta, descreva-a por equações paramétricas. (a) pi1 : x+ 2y + 3z − 1 = 0 e pi2 : x− y + 2z = 0. (b) pi1 : x+ y + z − 1 = 0 e pi2 : x+ y − z = 0. (c) pi1 : x+ y + z − 1 = 0 e pi2 : 2x+ 2y + 2z − 1 = 0. (d) pi1 : x+ y + z − 1 = 0 e pi2 : 3x+ 3y + 3z − 3 = 0. 2) Sendo: pi1 : (x, y, z) = (1, 0, 0)+λ(1, 1, 1)+µ(−1, 0, 2) e pi2 : (x, y, z) = (2, 0,−1)+α(1, 2, 1)+ β(0, 1, 1), mostre que pi1 ∩ pi2 é uma reta e obtenha uma equação vetorial para ela. PARTE F - POSIÇÃO RELATIVA ENTRE RETAS 1) Estude a posição relativa entre as retas r : (x, y, z) = (1, 2, 3) + λ(0, 1, 3) e s nos casos: (a) s : (x, y, z) = (0, 1, 0) + λ(1, 1, 1) (b) s : (x, y, z) = (1, 3, 6) + λ(0, 2, 6) (c) s : { x+ y + z = 6 x− y − z = −4 4 2) Calcule m em cada caso, usando a informação dada sobre as retas r : { x−my + 1 = 0 y − z − 1 = 0 s : x = y m = z t : { x+ y − z = 0 y + z + 1 = 0 (a) r e s são paralelas; (b) r, s e t são paralelas a um mesmo plano; (c) r e t são concorrentes; (d) s e t são coplanares; (e) r e s são reversas. PARTE G - POSIÇÃO RELATIVA ENTRE RETA E PLANO 1) Estude a posição relativa entre r e pi: (a) r : x = 1 + λ y = 1− λ z = λ e pi : x+ y − z + 2 = 0. (b) r : (x, y, z) = (1, 1, 0) + λ(1,−1, 1) e pi : x+ y − 2 = 0. (c) r : x− 2y = 3− 2z+ y = 2x− z e pi : (x, y, z) = (1, 4, 0)+λ(1, 1, 1)+µ(2, 1, 0). 2) Calcule m para que r seja paralela a pi: r : (x, y, z) = (1, 1, 1) + λ(2,m, 1), pi : (x, y, z) = (0, 0, 0) + λ(1, 2, 0) + µ(1, 0, 1). PARTE H - POSIÇÃO RELATIVA ENTRE PLANOS 1) Estude a posição relativa entre os planos: (a) pi1 : 2x− y + z − 1 = 0 e pi2 : 4x− 2y + 2z − 9 = 0 (b) pi1 : x+ 10y − z − 4 = 0 e pi2 : 4x+ 40y − 4z − 16 = 0 (c) pi1 : (x, y, z) = (0, 0, 0) + λ(1, 0, 1) + µ(−1, 0, 3) e pi2 : (x, y, z) = (1, 0, 1) + λ(1, 1, 1) + µ(0, 1, 0). (d) pi1 é determinado pelos pontos A = (1, 4, 0), B = (2, 2, 1) e C = (0, 1, 1), e pi2 é determinado pelo ponto P = (1, 1, 1) e pela reta r : x− y = 2x+ z = 1− 3x− y. 5 PARTE I - EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES Resolva os seguintes exercícios do livro Vetores e Geometria Analítica (Paulo Winterle): • Capítulo 5 (A Reta) - p.118: 13, 21, 24, 25, 27, 32 e 34. • Capítulo 6 (O Plano) - p.141: 17, 18, 19, 20, 32, 34, 36, 40, 41, 43, 45 e 46. • Capítulo 7 (Distâncias) - p.157: 1, 2, 3, 4, 6, 10, 11, 15, 16, 17, 20, 22 e 25.
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