ACZ and ACZ

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A) \( \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i \) 
B) \( \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i \) 
C) \( 1 + 0i \) 
D) \( 0 + 1i \) 
**Resposta: A) \( \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i \)** 
Usando a fórmula de Euler, \( e^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta \), temos \( z = 
\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) + i \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i \). 
 
26. Qual é a soma das raízes da equação \( z^2 - 5z + 6 = 0 \)? 
A) 5 
B) -5 
C) 6 
D) -6 
**Resposta: A) 5** 
A soma das raízes é \( -\frac{b}{a} = -\frac{-5}{1} = 5 \). 
 
27. Qual é o produto das raízes da equação \( z^2 + 2z + 1 = 0 \)? 
A) 1 
B) 0 
C) -1 
D) -2 
**Resposta: A) 1** 
O produto das raízes é \( \frac{c}{a} = \frac{1}{1} = 1 \). 
 
28. Qual é a forma polar de \( z = 0 + 0i \)? 
A) \( 0 \) 
B) \( 1(\cos 0 + i \sin 0) \) 
C) \( 0(\cos \theta + i \sin \theta) \) 
D) \( 1 \) 
**Resposta: C) \( 0(\cos \theta + i \sin \theta) \)** 
A forma polar de zero é indefinida, mas pode ser representada como \( 0(\cos \theta + i 
\sin \theta) \). 
 
29. Resolva a equação \( z^2 - 4 = 0 \). 
A) \( z = 2 \) 
B) \( z = -2 \) 
C) \( z = 0 \) 
D) \( z = 4 \) 
**Resposta: A) \( z = 2 \), B) \( z = -2 \)** 
As raízes são \( z = 2 \) e \( z = -2 \). 
 
30. Determine \( z \) se \( z^2 + 2z + 1 = 0 \). 
A) \( z = -1 \) 
B) \( z = 1 \) 
C) \( z = 0 \) 
D) \( z = 2 \) 
**Resposta: A) \( z = -1 \)** 
A equação é fatorável como \( (z + 1)^2 = 0 \), resultando na raiz \( z = -1 \). 
 
31. Qual é a forma exponencial de \( z = -1 + 0i \)? 
A) \( 1 e^{i\pi} \) 
B) \( 1 e^{i0} \) 
C) \( 1 e^{i\frac{\pi}{2}} \) 
D) \( 1 e^{i\frac{3\pi}{2}} \) 
**Resposta: A) \( 1 e^{i\pi} \)** 
A forma exponencial é \( re^{i\theta} \). Aqui, \( r = 1 \) e \( \theta = \pi \). 
 
32. Qual é a raiz quadrada de \( -9 \)? 
A) \( 3i \) 
B) \( -3i \) 
C) \( 0 \) 
D) \( 3 \) 
**Resposta: A) \( 3i \), B) \( -3i \)** 
As raízes quadradas de \( -9 \) são \( 3i \) e \( -3i \). 
 
33. Qual é a forma algébrica de \( z = e^{i\frac{\pi}{2}} \)? 
A) \( 0 + 1i \) 
B) \( 1 + 0i \) 
C) \( -1 + 0i \) 
D) \( 0 - 1i \) 
**Resposta: A) \( 0 + 1i \)** 
Usando a fórmula de Euler, \( e^{i\frac{\pi}{2}} = \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) + i 
\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0 + 1i \). 
 
34. Qual é a solução da equação \( z^3 - 1 = 0 \)? 
A) \( z = 1 \) 
B) \( z = -1 \) 
C) \( z = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i \) 
D) \( z = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i \) 
**Resposta: A) \( z = 1 \), C) \( z = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i \), D) \( z = \frac{1}{2} - 
\frac{\sqrt{3}}{2}i \)** 
As raízes são \( z = 1, \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i, \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i \). 
 
35. Qual é o módulo de \( z = -3 - 4i \)? 
A) 5 
B) 7 
C) 25 
D) 12 
**Resposta: A) 5** 
O módulo é \( |z| = \sqrt{(-3)^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \). 
 
36. Qual é a forma polar de \( z = 3 + 4i \)? 
A) \( 5(\cos \frac{3\pi}{4} + i \sin \frac{3\pi}{4}) \) 
B) \( 5(\cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4}) \) 
C) \( 5(\cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2}) \)