Parábola

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Parábola
Parábola
O gráfico de uma função polinomial do 2° grau y=ax²+bx+c (com a≠0) é uma curva chamada parábola.
Definição
É uma seção cônica gerada pela interseção de uma superfície cônica de segundo grau e um plano paralelo a uma linha geradora do cone (chamada de geratriz).
Uma parábola também pode ser definida como o conjunto dos pontos que são equidistantes de um ponto dado (chamado de foco) e de uma reta dada (chamada de diretriz). É uma curva plana.
A parabola é o lugar geométrico dos pontos de um plano que são equidistantes de um ponto fixo F, e de uma reta dada d, F não pertence a d, deste plano. 
Elementos
Foco: é o ponto F.
Diretriz: é a reta d.
Eixo: é a reta que passa pelo foco e é perpendicular à diretriz.
Vértice: é o ponto V de interseção da parábola com o seu eixo.
Parâmetro
É  a distância entre o foco e a reta diretriz da parábola. 
Esta distância determina  um segmento cujo ponto médio é o vértice da parábola. 
Um ponto qualquer (x, y) da parábola é equidistante do foco e da reta diretriz. No caso da figura, em que o eixo de simetria é paralelo ao eixo das ordenadas e que o vértice possui coordenadas (a, b), temos a seguinte equação:
(x - a)² = 2p (y - b)
Relacionamento entre o discriminante e a concavidade
Zeros ou Raízes
São os números reais da função de segundo grau que tem x tal que f(x)=0.
f(x) = x²-5x+6 
a=1; b=-5; c=6
As raízes são: 
x=2
X=3
Vértice
É o ponto médio da parábola.
Indica o ponto mínimo (a>0) ou máximo (a<0).
Exemplo: Vértice
Para produzirmos x unidades de uma mercadoria, temos que o custo dessa produção em reais é dado pela expressão matemática C = x² – 80x + 3000. Com base nessa expressão, determine a quantidade de unidades produzidas para que o custo seja mínimo e qual o valor mínimo do custo.
Quantidade de unidades produzidas para que o custo seja mínimo será de 40 peças. Observe:
Valor mínimo do custo será de R$ 1 400,00. Veja:
Exemplos
Seja a parábola com vértice na origem, eixo de simetria coincidente com o eixo x e que passa pelo ponto (1/5,2). Determine a equação, o foco e a diretriz dessa parábola.
Resolução
https://www.youtube.com/watch?v=6wY1b1ryTOA
Equação reduzida da parábola de eixo horizontal e vértice na origem
Consideremos os pontos: F(p/2, 0) - foco da parábola, e P(x,y) - um ponto qualquer da parábola. Considerando-se a definição acima, deveremos ter: PF = PP‘
Usando a fórmula da distancia entre pontos do plano cartesiano:
Desenvolvendo convenientemente e simplificando a expressão acima, chegaremos à equação reduzida da parábola de eixo horizontal e vértice na origem, a saber: y2 = 2px (onde p é a medida do parâmetro da parábola).
Eixos
Parábola de eixo horizontal e vértice no ponto (x0, y0):
Se o vértice da parábola não estiver na origem e, sim, num ponto (x0, y0), a equação acima fica:
	(y - y0)² = 2p(x-x0)
Parábola de eixo vertical e vértice na origem:
Não é difícil provar que, se a parábola tiver vértice na origem e eixo vertical, a sua equação reduzida será: 
	x² = 2py
Parábola de eixo vertical e vértice no ponto (x0, y0):
Analogamente, se o vértice da parábola não estiver na origem, e, sim, num ponto (x0, y0), a equação acima fica: 
	(x - x0)² = 2p(y - y0)
Exercícios Resolvidos
1 - Qual a equação da parábola de foco no ponto F(2,0) e vértice na origem?
Solução: Temos p/2 = 2, ou seja, p = 4
Daí, por substituição direta, vem:
y2 = 2.4.x 
y2 = 8x ou y2 - 8x = 0.
Exercícios Resolvidos
2 - Qual a equação da parábola de foco no ponto F(4,0) e vértice no ponto V(2,0)?
Solução: VF = p/2, 2 = p/2 e p = 4.
Logo, (y - 0)2 = 2.4(x - 2)2 
y2 = 8(x-2)
y2 - 8x + 16 = 0 (que é a equação da parábola).
Exercícios Resolvidos
Ache a equação cartesiana da parábola de foco (3,2) e diretriz a reta x=4.
Temos F=(3,2); seja X=(x,y) um ponto qualquer da curva que estamos procurando e seja P=(4,y) um ponto qualquer da diretriz. Da definição de parábola como lugar geométrico dos pontos cuja distância ao foco é igual à distância até a diretriz, temos:
d(X,F)=d(X,P)
onde, elevando os dois membros da igualdade ao quadrado, obtemos:
x2-6x+9+y2-4y+4=x2-8x+16
ou seja,
2x=3-y2+4y
de onde
x=  
ou seja,
expressão obtida completando-se os quadrados. Finalmente:
 que é a equação da parábola procurada.
Exercícios Resolvidos
Ache a equação cartesiana da parábola que tem diretriz no eixo x e vértice em (4/3,-3/2).
Como a parábola tem vértice V= a abscissa do foco é a mesma que a do vértice pois ambos estão no eixo de simetria.
Como a ordenada do vértice é negativa, a ordenada do foco também o será e, sendo a diretriz o eixo x - ou seja a reta y=0 - a parábola tem concavidade voltada para baixo.
Como a distância do vértice à reta diretriz é  a distância do vértice ao foco também deve ser, portanto a ordenada do foco é 2.   = -3.
Logo o foco é o ponto F= 
Seja X=(x,y) um ponto qualquer pertencente à parábola que queremos determinar. Seja P=(x,0) um ponto qualquer da diretriz. Temos então:
d(X,F)=d(X,P)
ou seja,
Elevando-se ao quadrado ambos os membros da igualdade, temos:	
Exercícios Resolvidos
Ache a equação cartesiana das parábolas que têm eixo de simetria vertical e cortam o eixo x nos pontos de abscissas m e n distintos.
Como o eixo de simetria é vertical, temos que cada uma das curvas procuradas é o gráfico de uma função do segundo grau.
Como cada uma das curvas corta o eixo x nos pontos de abscissas m e n, temos que os números m e n são as raízes da função cujo gráfico é a referida parábola.
Assim sendo, temos que, na forma fatorada, podemos escrever:
 y=a(x-m).(x-n), ou seja, y=a[x2-(m+n).x+mn]
ou, completando os quadrados, temos
de onde
de onde
Fórmulas
Horizontal e vértice no ponto: (y - y0)² = 2p(x-x0)
Vertical e vértice na origem: x² = 2py
Vertical e vértice no ponto: (x - x0)² = 2p(y - y0)
Distância: 
Vértice:
Bhaskara: