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Questões de álgebra linear – Matrizes, determinantes e sistemas lineares. 1) Escreva a matriz A= 3x2ij a , onde ija =2i+3j Resposta: A= 13107 1185 2) Escreva a matriz A= 3x2ij a , onde jise,ji jise,ji2 a ij R. 165 213 A 3) Dadas as matrizes A= 3a 21 e 3b 3x B , determinar a, b e x para que A= tB . R. a = 3, b = 2 e x = 1 4) O conjunto solução de 1x 11 1x 11 11 x1 é: a) 1x|Rx b){0;1} c){1} d){-1} e) {0} R. e 5) Calcular x na igualdade 0 3x1 31x 101 R. x=1 ou x=-4 6) Calcular x na igualdade 0 9x6x4x 3x2x 111 22 R. x=2 ou x=5 7) Determine para que valores de m e n o sistema nmzyx zyx zyx 3 42 132 seja: a-) Indeterminado b-) impossível a-) m = 2 e n = 5 b-) m = 2 e n 5 8) Para que valores de k existe uma única matriz y x , tal que ? 0 0 1 21 y x k k a) k -1 b) k=-2 c) k=-2 ou k=1 c) k -2 e k 1 d) k 2 e k -1 R. e 9) Uma empresa fabrica três produtos. Suas despesas de produção estão divididas em três categorias (tabela I). Em cada uma dessas categorias, faz-se uma estimativa do custo de produção, de um único exemplar de cada produto. Faz- se , também, uma estimativa da quantidade de cada produto a ser fabricado por estação (tabela II) Tabela I Custo de produção por item(em dólares) Categorias produto A B C Matéria prima 0,10 0,30 0,15 Pessoal 0,30 0,40 0,25 Despesas gerais 0,10 0,20 0,15 Tabela II Quantidade produzida por estação Categorias estação verão outono inverno primavera A 4000 4500 4500 4000 B 2000 2600 2400 2200 C 5800 6200 6000 6000 As tabelas I e II podem ser representadas, pelas matrizes M= 15,020,010,0 25,040,030,0 15,030,010,0 e P= 6000600062005800 2200240026002000 4000450045004000 . A empresa apresenta a seus acionistas uma única tabela mostrando o custo total por estação se cada uma das três categorias: matéria-prima, pessoal e despesas gerais. A partir das informações dadas, julgue os itens. 0) a tabela apresentada pela empresa a seus acionistas é representada pela matriz M.P de ordem 3x4 1) os elementos da 1ª linha de M.P representam o custo total de matéria prima para cada uma das quatro estações 2) o custo com despesas gerais para o outono será de 2160 dólares. 3) Se V = , e a matriz dos valores de venda dos produtos A, B e C (A=$5, B$= 4, C=$ 6), o valor total produzido por estação é dado pela matriz 64800681007010062800 . resp.0)v 1) v 2) Custo = 1900 dólares. 3) v 10) Considerando-se o sistema de equações S : 0 1 12 zykx zyx kzyx e as matrizes B = 11 111 21 k k , C = 0 1 1 e X = z y x , sendo k um número real, pode-se afirmar: (01) A matriz transposta de B.C é a matriz linha ( 1 1 k-1 ) (02) A matriz inversa de B, para k = 0, é a matriz B-1 = 111 111 221 (04) S é um sistema determinado se k 1 e k 2 (08) O terno ( -1, 1, -1 ) é a única solução do sistema S, para k = 0 (16) O sistema S é possível e indeterminado, para k = 1. (32) O conjunto solução do sistema homogêneo B.X = 0 0 0 , para k = 1, é {( x , 0 , -x ) x R } Resp a soma das questões corretas é 44. 12) Justifique em cada caso o motivo do determinante ser nulo. a) 0 734 2108 154 b) 0 0134 015 0127 c) 0 241 402 531 Solução. Identificando as propriedades dos determinantes que se anulam, vem: a) O determinante é nulo, pois a 2ª linha é dobro da 1ª linha. b) O determinante é nulo, pois a 3ª coluna inteira é formada por zeros. c) A 3ª coluna é a soma do dobro da 1ª linha com a 2ª linha: 5 = 1 x 2 + 3; 4 = 2 x 2 + 0 e 2 = - 1 x 2 + 4.
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