Prévia do material em texto
5.MONOMORFISMO, EPIMORFISMO e ISOMORFISMO: Sendo V e W dois espaços vetoriais sobre o corpo K , e T : V → W, uma transformação linear, temos: a)Monomorfismo, se ∀ u, v ∈ V e T(u) = T(v) então u = v b)Epimorfismo, se ∀ w ∈ W , ∃ algum v ∈ V / w = T(v) c)Isomorfismo, se, e somente se, T é monomórfica e epimórfica. V ≅ W ● Se A é uma matriz quadrada de ordem n⨯n definido por T(X) = AX Então a transformação linear T : ℝn→ℝn é um isomorfismo ● ℝ3 ≅ ℙ2 dado que ∃ T : ℝ3 → ℙ2 (a, b, c) → a + bx + cx² ⇒ T(a, b, c) = a + bx + cx² Exemplos de isomorfismo: ● ℝ2 ≅ ℂ dado que ∃ T : ℝ2 → ℂ (x, y) → x + iy i=√(−1)⇒ T(x, y) = x + iy 6.MATRIZ ASSOCIADA A UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR: Sejam: V de dim V = n e de base [V] = { v1, v2, …, vn}, e W de dim W = m e base [W] = { w1, w2, …, wm}; dois espaços vetoriais sobre o corpo � , e T : V → W, uma transformação linear. j = 1, 2, …, n ; a∀ ∃ ij únicos, tal que: T(vj) = a1jw1 + a2jw2 + … + amjwm = ∑ i=1 m aijwi Se j = 1 ⇒ T(v1) = a11w1 + a21w2 + … + am1wm Se j = 2 ⇒ T(v2) = a12w1 + a22w2 + … + am2wm Se j = n ⇒ T(vn) = a1nw1 + a2nw2 + … + amnwm⋮ ⋮ a11 a12 … a1n a11 a12 … a1n⋮ ⋮ ⋮ am1 am2 … amn A = Onde A é a matriz da transformação linear com respeitos às bases [V] e [W]. Exemplo 7: Ache a matriz associada a transformação linear T : ℝ2→ℝ2 definida por T(x, y) = (2x + y, x – y). Sol: T(1, 0) = (1, –2) = 1 (1, 0) – 2 (0, 1) T(0, 1) = (2, –4) = 2 (1, 0) – 4 (0, 1) Como T(a, b) = (a + 2b, – 2a – 4b) 1 2 –2 –4 A = É a matriz de T respeito às bases canônicas. Exemplo 8: Seja a transformação T : ℝ2→ℝ2 definida por T(a, b) = (a + 2b, – 2a – 4b). Ache a matriz da transformação linear, considerando a base canônica. Sol: O conjunto de vetores ℝ2 = {(x, y) / x, y ∈ ℝ} é um espaço isomorfo de M2×1 = { / x, y ∈ ℝ} o conjunto das matrizes de ordem 2×1xy Então a transformação linear pode ser escrita como T : M2×1→M2×1 e defini-la como: T = x y 2x +y x – y 2 1 1 –1 = x y Obtendo a matriz A de ℝ2×2 associada a T. 2 1 1 –1 A = Exemplo 9: Seja a transformação T : ℝ2→ℝ2 definida por T(a, b) = (a + 3b, 2a – b). Ache a matriz da transformação linear, considerando a base canônica e as bases [V’] = {(1, 1), (1, -1)} de ℝ2 e [W’] = {(2, 0), (0, 2)} de ℝ2. 1 3 2 –1 A = A matriz de T respeito às bases canônicas. Sol: Considerando as bases: T(1, 1) = (4, 1) = a11 (2, 0) + a21 (0, 2) T(1,–1) = (–2, 3) = a12 (2, 0) + a22 (0, 2) [V’] = {(1, 1), (1, -1)} de ℝ2 [W’] = {(2, 0), (0, 2)} de ℝ2 2 –1 1/2 3/2 A’ = T(vj) = a1jw1 + a2jw2 + … + amjwm Obs. O resultado segue o procedimento dado pela equação. = ∑ i=1 m aijwi VALORES E VETORES PRÓPRIOS 1.DEFINIÇÃO: Seja T : V → W uma transformação linear. Um número λ ∈ chama-se valor próprio de T se existe um vetor v ≠ 0 tal que T(v) = λv ; v ∈ V. Onde v é o vetor próprio associado a λ. Exemplo 1: Seja a transformação T : ℝ2→ℝ2 definida por T(a, b) = (2a + 2b, b). Ache os valores próprios e vetores próprios de T. Sol: λ ∈ ℝ é um valor próprio de T ⇔ ∃ v ∈ ℝ2 / T(v) = λv ; v ≠ 0 Se v = (a, b) ⇒ T(v) = (2a + 2b, b) = λ (a, b) 2a + 2b = λ a b = λ b (λ – 2)a + 2b = 0 (λ – 1)b = 0∼ λ-2 2 0 λ-1 = (λ – 2)(λ – 1) Onde λ1 = 2 e λ2 = 1 são os valores próprios de T Os vetores próprios associados a λ1 = 2 (λ – 2)a + 2b = 0 (λ – 1)b = 0 ⇒ (0)a + 2b = 0 (1)b = 0 ⇒ b = 0 ; a ≠ 0 v = (a, 0) = a (1, 0)⇒ v1 = (1, 0) Os vetores próprios associados a λ1 = 1 (λ – 2)a + 2b = 0 (λ – 1)b = 0 ⇒ –a – 2b = 0 (0)b = 0 ⇒ a = –2b ; b ≠ 0 v = (a, b) = b (–2, 1)⇒ v1 = (–2, 1) 1.1 TEOREMA: Se v1 e v2 são vetores próprios associados a λ1 e λ2 respectivamente ( λ1 ≠ λ2), então v1 e v2 são linearmente independentes 1.2 TEOREMA: Se A ∈ ��⨯� é uma matriz associada a uma transformação linear e λ ∈ � um valor próprio, então temos que Av = λv, e como v ≠ 0 , a matriz (A – λI) é matriz singular, é dizer que: det (A – λI) = 0 2.POLINÔMIO CARACTERÍSTICO: O polinômio característico, é dado do resultado de det (A – λI) = P(λ). Onde as raízes de P(λ) são os valores próprios da transformação linear T. Exemplo 2: Seja a transformação T : ℝ3→ℝ3 definida por: T(x, y, z) = (3x – y + z, –x + 5y – z, x – y +3z). Ache os valores próprios e vetores próprios de T. Sol: 3 -1 1 -1 5 -1 1 -1 3 Seja A matriz associada a T. A = 3-λ -1 1 -1 5-λ -1 1 -1 3-λ P(λ) = ⇒ = 0 P(λ) = (3 – λ)[(5 – λ)(3 – λ) – 1] – (-1)[-(3 – λ) + 1] + 1[1 – (5 – λ)] = 0 P(λ) = –λ³ – 11λ² – 36λ + 36 = 0 P(λ) = (λ – 2)(λ – 3)(λ – 6) = 0 ⇒ λ1 = 2λ1 = 3 λ1 = 6 Valores próprios de T Para achar os vetores próprios temos que usar (A – λI) v = 0 3-λ -1 1 -1 5-λ -1 1 -1 3-λ x y = z 0 0 0 Para λ1 = 2 1 -1 1 -1 3 -1 1 -1 1 x y = z 0 0 0 1 -1 1 0 -1 3 -1 0 1 -1 1 0 L2+ L1→L2 1 -1 1 0 0 2 0 0 1 -1 1 0 1/2L2→L2 L3– L1→L3 1 -1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 L1+ L2→L1 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 x + z = 0 y = 0 x y = z z -1 0 1 ; v1 = -1 0 1 Para λ2 = 3 0 -1 1 -1 2 -1 1 -1 0 x y = z 0 0 0 0 -1 1 0 -1 2 -1 0 1 -1 0 0 L2↔L1 -1 2 -1 0 0 -1 1 0 1 -1 0 0 (-1)L1→L1 1 -2 1 0 0 -1 1 0 1 -1 0 0 x – z = 0 y – z = 0 x y = z z 1 1 1 ; v2 = 1 1 1 L3– L1→L3 (-1)L2→L2 1 -2 1 0 0 1 -1 0 0 1 -1 0 1 -2 1 0 0 1 -1 0 0 0 0 0L3– L2→L3 L1+ 2L2→L1 1 0 -1 0 0 1 -1 0 0 0 0 0 Para λ3 = 6 -3 -1 1 -1 -1 -1 1 -1 -3 x y = z 0 0 0 -3 -1 1 0 -1 -1 -1 0 1 -1 -3 0 L3↔L1 1 -1 -3 0 -1 -1 -1 0 -3 -1 1 0 x – z = 0 y + 2z = 0 x y = z z 1 -2 1 ; v3 = 1 -2 1 (-1/2)L2→L2 1 0 -1 0 0 1 2 0 0 0 0 0L3+4L2→L3 L2 + L1 →L2 L3+ 3L1→L3 1 -1 -3 0 0 -2 -4 0 0 -4 -8 0 1 -1 -3 0 0 1 2 0 0 -4 -8 0 L1 + L2→L1 ⇒ para λ1 = 2 λ1 = 3 λ1 = 6 , temos { , , } vetores próprios de T 1 -2 1 1 1 1 -1 0 1 Seja: -1 1 1 0 1 -2 1 1 1 P = P-1A P = D onde: 2 0 0 0 3 0 0 0 6 D = 2.1 MATRIZ DIAGONALIZÁVEL: Uma matriz A ∈ ��×� se diz diagonalizável se existe uma matriz P ∈ ��×� não singular, tal que P-1A P = D. Onde P é a matriz formada com os vetores próprios dispostos em colunas e D é uma matriz diagonal formado com os valores próprios. 2.1.1 TEOREMA: Se do polinômio característico da matriz A, temos a raiz λ, valor próprio de A com multiplicidade k, então para que a matriz A seja diagonalizável devemos ter k vetores próprios associados ao valor próprio λ. Caso contrario a matriz não será diagonalizável. Exemplo 3: Determine se a matrizes A e B são diagonalizáveis: 1 1 0 0 1 1 0 0 1 A = -3 0 -4 4 1 4 2 0 3 B = Sol: det (A – λI) = P(λ) = 1-λ 1 0 0 1-λ 1 0 0 1-λ = (1 – λ)³ ⇒ temos λ = 1 valor próprio da matriz A com multiplicidade 3 Calculamos os vetores próprios para λ = 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 x y = z 0 0 0 y = 0 z = 0 x y = x z 1 0 0 ; v1 = 1 0 0 x ≠ 0 Sendo que para λ = 1 de multiplicidade 3 obtivemos só um vetor próprio. Isso quer dizer que a matriz A não é diagonalizável. det (B – λI) = P(λ) = -3-λ 0 -4 4 1-λ -4 2 0 3-λ = –λ³ + λ² + λ – 1 = (λ – 1)² (λ + 1) ⇒ Temos as rizes λ1 = 1 e λ2 = -1 valores próprios da matriz B Matriz B Matriz A Vetores próprios para λ1 = 1 -4 0 -4 4 0 4 2 0 2 x y = z 0 0 0 -4 0 -4 0 4 0 4 0 2 0 2 0 1 0 1 0 4 0 4 0 2 0 2 0 (-1/4) L1→L1 L3– 2L1→L3 1 0 1 0 0 00 0 0 0 0 0 x + z = 0 y ≠ 0 x y = y z 0 1 + z 0 ; v1 = 0 1 0 L2– 4L1→L2 -1 0 1 v2 = -1 0 1 ⇒ Temos que para λ1 = 1 (de multiplicidade 2) temos 2 vetores associados a λ1 . Vetores próprios para λ1 = -1 -2 0 -4 4 2 4 2 0 4 x y = z 0 0 0 -2 0 -4 0 4 2 4 0 2 0 4 0 1 0 2 0 4 2 4 0 2 0 4 0 1 0 2 0 0 2 -4 0 0 0 0 0 1 0 2 0 0 1 -2 0 0 0 0 0 x + 2z = 0 y – 2z = 0 x y = z z -2 2 1 ; v1 = -2 2 1 (-1/2) L1→L1 L3– 2L1→L3 L2– 4L1→L2 (1/2) L2→L2 ⇒ Temos que para a matriz B existe P, náo singular, tal que: P-1B P = D 0 -1 -2 1 0 2 0 1 1 P = 1 0 0 0 1 0 0 0 -1 D = 3.PROPRIEDADES DOS VETORES PRÓPRIOS E OS VALORES PRÓPRIOS: i. Se v é vetor próprio associado ao valor λ de um operador linear T, o vetor αv, ∀α ∈ ℝ, α ≠ 0, é também vetor próprio de T. ii. Se λ é valor próprio de um operador linear T : V→V, o conjunto de todos os vetores v ∈ V, incluído o vetor nulo, associado ao valor próprio λ, é um subespaço vetorial de V. iii.Matrizes semelhantes têm o mesmo polinômio característico e, por conseguinte, os mesmos valores próprios. Diapositiva 1 Diapositiva 2 Diapositiva 3 Diapositiva 4 Diapositiva 5 Diapositiva 6 Diapositiva 7 Diapositiva 8 Diapositiva 9 Diapositiva 10 Diapositiva 11 Diapositiva 12 Diapositiva 13 Diapositiva 14