Calcular la integral I = ∫ R z(x2 + y2) (x2 + y2 + z2)5/2 dV donde R es la región determinada por las desigualdades√ x2 + y2 ≤ z ≤ √ 2− x2 − y2

Para calcular a integral dada, podemos usar coordenadas esféricas. Primeiro, vamos escrever as desigualdades em coordenadas esféricas: √(x^2 + y^2) ≤ z ≤ √(2 - x^2 - y^2) Em coordenadas esféricas, temos: x = ρsin(φ)cos(θ) y = ρsin(φ)sin(θ) z = ρcos(φ) Onde ρ é a distância do ponto ao eixo z, φ é o ângulo entre o eixo z e o vetor posição, e θ é o ângulo entre o eixo x e o vetor posição. Agora, vamos calcular o Jacobiano da transformação de coordenadas: J = ρ^2sin(φ) Agora, podemos reescrever a integral em coordenadas esféricas: I = ∫∫∫ ρ^5sin(φ)(ρ^2sin(φ))(ρ^2) dρdφdθ Simplificando, temos: I = ∫∫∫ ρ^9sin^2(φ) dρdφdθ Agora, vamos resolver a integral. Primeiro, vamos resolver a integral interna em relação a ρ: ∫ ρ^9sin^2(φ) dρ = (1/10)ρ^10sin^2(φ) Agora, vamos resolver a integral intermediária em relação a φ: ∫ (1/10)ρ^10sin^2(φ) dφ = (1/10)ρ^10(φ - (1/2)sin(2φ)) Por fim, vamos resolver a integral externa em relação a θ: ∫ (1/10)ρ^10(φ - (1/2)sin(2φ)) dθ = (1/10)ρ^10(φ - (1/2)sin(2φ))θ Agora, substitua os limites de integração e calcule a integral final.