31. Dada la función f(x) = ln(x)/x2, describe su dominio, encuentra su único punto cŕıtico y determina si en él se alcanza un máximo o un mı́n...

A função dada é f(x) = ln(x)/x^2. Vamos analisar cada parte da pergunta: 1. Domínio da função: A função ln(x) é definida apenas para valores de x maiores que zero, pois o logaritmo natural não está definido para valores negativos ou zero. Além disso, no denominador temos x^2, que é definido para qualquer valor de x. Portanto, o domínio da função f(x) é o conjunto dos números reais positivos, ou seja, x > 0. 2. Ponto crítico: Para encontrar o ponto crítico, devemos calcular a derivada da função e igualá-la a zero. Vamos fazer isso: f(x) = ln(x)/x^2 f'(x) = (1/x) * x^2 - ln(x) * 2x = x - 2x * ln(x) Igualando a derivada a zero: x - 2x * ln(x) = 0 Não é possível encontrar uma solução analítica para essa equação, mas podemos usar métodos numéricos para encontrar uma aproximação do ponto crítico. 3. Máximo ou mínimo relativo: Para determinar se o ponto crítico é um máximo ou mínimo relativo, precisamos analisar o comportamento da função ao redor desse ponto. No entanto, como não conseguimos encontrar o ponto crítico exato, não podemos determinar se é um máximo ou mínimo relativo. Espero ter ajudado! Se tiver mais alguma dúvida, é só perguntar.