Exerćıcio 3: Calcule ∫∫D x3 cos(xy) dxdy, onde D é a região delimitada pelos gráficos de y = x2, y = 0 e x = 2.

Para calcular a integral dupla ∫∫D x³cos(xy) dxdy, onde D é a região delimitada pelos gráficos de y = x², y = 0 e x = 2, podemos seguir os seguintes passos: 1. Integrar em relação a x: ∫x=0² x³cos(xy) dx = [1/y * sen(yx) * x³ - 1/y² * cos(yx) * x⁴] de x=0 até x=2 2. Substituir os limites de integração: [1/y * sen(2y) * 2³ - 1/y² * cos(2y) * 2⁴] - [1/y * sen(0) * 0³ - 1/y² * cos(0) * 0⁴] 3. Simplificar: [8/ y * sen(2y) - 16/ y² * cos(2y)] - [0 - 0] 4. Integrar em relação a y: ∫y=0¹ [8/ y * sen(2y) - 16/ y² * cos(2y)] dy = [-4 * cos(2y) - 8/y * sen(2y)] de y=0 até y=1 5. Substituir os limites de integração: [-4 * cos(2) - 8/1 * sen(2)] - [-4 * cos(0) - 8/0 * sen(0)] 6. Simplificar: [-4 * cos(2) - 8 * sen(2)] + [4] Portanto, o valor da integral dupla é aproximadamente -16,8.