Determine o escalar α para que o vetor ~v = (0, 3α, 4α) seja unitário.

Para que o vetor \(\mathbf{v} = (0, 3\alpha, 4\alpha)\) seja unitário, sua norma deve ser igual a 1. A norma de um vetor \(\mathbf{v} = (x, y, z)\) é dada por: \[ \|\mathbf{v}\| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \] No seu caso: \[ \|\mathbf{v}\| = \sqrt{0^2 + (3\alpha)^2 + (4\alpha)^2} = \sqrt{9\alpha^2 + 16\alpha^2} = \sqrt{25\alpha^2} = 5|\alpha| \] Para que \(\|\mathbf{v}\| = 1\), temos: \[ 5|\alpha| = 1 \] Portanto: \[ |\alpha| = \frac{1}{5} \] Assim, o escalar \(\alpha\) pode ser: \[ \alpha = \frac{1}{5} \quad \text{ou} \quad \alpha = -\frac{1}{5} \] Esses são os valores de \(\alpha\) que tornam o vetor \(\mathbf{v}\) unitário.