AOL-4a Cálculo Diferencial

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Pergunta 1
A receita de uma empresa a partir da comercialização de um certo produto é calculada pela multiplicação entre o preço unitário do produto 
pela quantidade comercializada. O preço de um produto pode aumentar ou diminuir a demanda, influenciando a quantidade que será 
comercializada. Portanto, a receita é dada em função do preço praticado por unidade de produto.
Para definir qual o preço a ser praticado que maximiza a receita das vendas, uma empresa resolveu analisar a função receita
R ( p) = 30p − 3p 2 , dada em reais. Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre problemas de otimização, pode-se 
afirmar que o melhor preço a ser praticado é:
 R$ 7, 00 por unidade.
 R$ 4,00 por unidade.
 R$ 3,00 por unidade.
 R$ 6,00 por unidade.
Resposta correta
Correta: 
R$ 5,00 por unidade.
Pergunta 2
Para descobrir o lucro obtido pela comercialização de um produto, basta encontrar a diferença entre a receita de vendas e o custo de 
produção desse
produto. Em uma fábrica de lâmpadas, a receita e o custo em função da quantidade x de lâmpadas são definidos pelas funções 
R (x ) = 3000x − 600x 2 e C (x ) = 2000x − 200x .
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre problemas de otimização, pode-se afirmar que o número de lâmpadas que 
maximiza o lucro da empresa é:
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 150 lâmpadas.
50 lâmpadas.
Resposta correta
Correta: 
 300 lâmpadas.
 600 lâmpadas.
 500 lâmpadas.
Pergunta 3
Uma bola é lançada verticalmente para cima, e a sua altura em metros, após segundos, é dada pela função f ( t) = 4+ 48t − 16t 2 .
Deseja-se, então, descobrir quanto tempo decorre desde o lançamento da bola até o momento em que ela atinge sua altura máxima.
Considerando essas informações e os conceitos envolvidos na resolução de problemas de otimização, analise as asserções abaixo e a 
relação proposta entre elas:
I. Para determinar quanto tempo leva para a bola alcançar a altura máxima, é necessário determinar a primeira derivada da função f(t)
Porque:
II. No instante em que a altura é máxima, a derivada da função f(t) é igual a zero.
A seguir, assinale a alternativa correta:
Incorreta: 
 As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta da I.
 As asserções I e II são proposições falsas.
Resposta corretaAs asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I.
 A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa.
 A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira.
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Pergunta 4
Quando aplicamos o processo de derivação em uma função e obtemos outra função derivável, é possível repetir esta ação, sucessivas 
vezes, e obter a segunda, a terceira, a quarta derivadas da função de origem, e assim por diante.
Considerando o conceito apresentado e o conteúdo estudado na unidade, analise as afirmativas a seguir acerca das derivadas sucessivas da 
função 
f (x ) = − 8x 4− 5x 3+ 100x:
I. A segunda derivada é uma função polinomial de grau 3.
II. A quarta derivada é igual a f (x) = -192x.
III. A quinta derivada é igual a zero.
IV. A primeira derivada possui três termos diferentes de zero.
Está correto apenas o que se afirma em:
II e III.
I e IV.
Resposta correta
Correta: 
III e IV.
I e II.
II, III e IV.
Pergunta 5
Observe a figura a seguir:
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Uma calha deve ser feita a partir de uma folha metálica retangular de 30 cm de largura, dobrando-se as bordas da folha. O número de 
centímetros dobrados de cada lado é x.
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre problemas de otimização, para que a calha tenha a capacidade máxima, 
pode-se afirmar que é necessário dobrar:
Resposta correta
Correta: 
7,5 cm de cada lado da folha.
10 cm de cada lado da folha.
 4 cm de cada lado da folha.
 12 cm de cada lado da folha.
 5 cm de cada lado da folha.
Pergunta 6
Pela definição, uma função é crescente em um intervalo se sua derivada nesse intervalo for positiva. Analogamente, a função é decrescente 
em um intervalo se sua derivada nesse intervalo for negativa.
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre a interpretação geométrica da derivada, analise as asserções abaixo e a 
relação proposta entre elas:
I. A função f (x ) =x 3 é crescente em todo o seu domínio.
Pois:
II. O coeficiente angular da reta tangente à curva é igual a zero.
Agora, assinale a alternativa correta:
Resposta correta
Correta: 
A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição 
falsa.
As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I.
As asserções I e II são proposições falsas.
As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta da I.
A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira.
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Pergunta 7
Segundo o Teorema do Valor Médio, dada uma função f (x ) contínua em um intervalo [a ,b] e derivável no intervalo aberto ( a ,b) então 
existe um valor c neste intervalo tal que f ' (c ) =
f ( b) − f ( a)
( b − a)
 .
Considerando essas informações, pode-se afirmar que o valor de c que satisfaz as condições do Teorema do Valor Médio para a função 
f (x ) = 3x ² + 2x + 5 contínua no intervalo -1,1 é:
Resposta correta
Correta: 
0.
-1.
3.
2.
-2.
Pergunta 8
Para descobrir o lucro obtido pela comercialização de um produto, basta encontrar a diferença entre a receita de vendas e o custo de 
produção desse
produto. Em uma fábrica de lâmpadas, a receita e o custo em função da quantidade x de lâmpadas são definidos pelas funções 
R (x ) = 3000x − 600x 2 e C (x ) = 2000x − 200x Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre problemas de otimização, 
pode-se afirmar que o número de lâmpadas que maximiza o lucro da empresa é:
 600 lâmpadas.
 500 lâmpadas.
Resposta correta 300 lâmpadas.
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Incorreta: 
50 lâmpadas.
 150 lâmpadas.
Pergunta 9
Uma etapa importante para o esboço de um gráfico e, consequentemente, para a análise do comportamento de uma função é a verificação 
da existência de assíntotas, que demonstram a tendência de uma função quando esta se aproxima de um determinado valor.
Considerando a definição de assíntota vertical de uma função e o conteúdo estudado sobre o comportamento de uma função, analise as 
asserções a seguir e a relação proposta entre elas:
I. Uma reta x = a pode ser uma assíntota vertical de uma função.
Porque:
II. 
lim f (x ) = a
x → a
 
A seguir, assinale a alternativa correta:
 As asserções I e II são proposições falsas.
Resposta correta
Correta: 
A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição 
falsa.
As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta da I.
A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira.
 A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa.
Pergunta 10
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Na análise do comportamento geral de uma função, são desenvolvidas algumas etapas que permitem a determinação de algumas 
propriedades dessa função. Em conjunto com a representação gráfica, essa análise pode auxiliar a resolução de problemas de diversas 
naturezas.
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre a análise geral do comportamento de uma função, analise as etapas a seguir 
e associe-as com suas respectivas características.
1) Determinar os pontos críticos.
2) Determinar os pontos de interseção com o eixo x.
3) Analisar os intervalos de crescimento ou decrescimento da função.
4) Esboçar a curva da função.
( ) Representar graficamente a função a partir das propriedades determinadas.
( ) Determinar as raízes da função.
( ) Determinar os pontos em que a primeira derivada da função é igual a zero.( ) Analisar o sinal da primeira derivada da função.
Agora, assinale a alternativa que a apresenta a sequência correta:
 4, 3, 1, 2.
Resposta correta
Correta: 
4, 2, 1, 3.
 4, 2, 3, 1.
 1, 2, 4, 3.
 2, 3, 1, 4.