lista 11 GA (1)

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Lista 10 - Geometria Anal´ıtica e A´lgebra Linear
1) Seja T o operador linear em R3 cuja matriz em relac¸a˜o a` base canoˆnica e´ 1 2 10 1 1
−1 3 4

Encontre uma base para T (R3) e para Ker(T ), e defina a partir dai se T e´
um isomorfismo.
2) Seja T o operador linear em P2 dado por T (p(x)) = xp′(x) + p′′(x).
a) Encontre a matriz A que representa T em relac¸a˜o a` base canoˆnica E =
{1, xx2}.
b) Encontre a matriz B que representa T em relac¸a˜o a` base B = {1, x, 1+x2}.
c) Determine se T e´ injetora e sobrejetora e conclua se T e´ ou na˜o isomor-
fismo.
3) a) Determine a matriz que representa o operador linear T : R2 → R2 em
relac¸a˜o a` base canoˆnica, sabendo que T (1, 1) = (2, 3) e T (−1, 1) = (4, 5).
b) Qual a matriz que representa T em relac¸a˜o a` base canoˆnica, se T : R2 →
R2 e´ tal que T (2, 3) = (2, 3) e T (−3, 2) = (0, 0) ?
4) Mostre que em P2, sendo a1, a2, a3 nu´meros reais distintos, e p(x), q(x)
polinoˆmios em P2, tomando
〈p(x), q(x)〉 =
3∑
i=1
p(ai)q(ai)
temos um produto interno em P2.
5) Dado M2×2, mostre que a seguinte func¸a˜o
〈A,B〉 =
2∑
i=1
2∑
j=1
aijbij
1
define um produto interno.
6) Em R2 considere a seguinte operac¸a˜o:
〈(x1, x2), (y1, y2)〉 = x1y1 − x2y1 − x1y2 + 4x2y2
Mostre que tal operac¸a˜o define um produto interno em R2. A operac¸a˜o
de diferenc¸a do produto interno canoˆnico de R2 com este produto acima
definido e´ um produto interno em R2? Isto e´,
〈(x1, x2), (y1, y2)〉 = x1y1 + x2y2 − (x1y1 − x2y1 − x1y2 + 4x2y2)
e´ produto interno em R2? (na˜o)
7) Mostre que num espac¸o vetorial V com produto interno o vetor nulo e´
ortogonal a qualquer outro vetor de V .
8) Considere C[−pi, pi] com produto interno dado por
〈f, g〉 =
∫ pi
−pi
f(x)g(x)dx
Mostre que cos(nx) e sen(mx), com m e n inteiros, sa˜o ortogonais entre si
e que ‖cos(nx)‖ = 1 = ‖sen(mx)‖.
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