Regra de L'Hôpital para Cálculo de Limites

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EP15 - gabarito - 2-2006 Ca´lculo I
Gabarito dos Exerc´ıcios Programados 15
Ca´lculo I
Use a Regra de L’Hoˆpital para calcular os seguintes limites:
1) lim
x→4
x2 − x− 12
x2 − 16 =
7
8
, pois lim
x→4
2x− 1
2x
=
7
8
.
2) lim
x→1
1− x+ ln x
x2 − 1 = 0, pois limx→1
−1 + 1
x
2x
=
0
2
= 0.
3) lim
x→1
sen (2pix)
x2 − 1 = pi, pois limx→1
2pi cos(2pix)
2x
=
2pi
2
= pi.
4) lim
x→∞
tg
(2
x
)
1
x
= 2. Esse dava para calcular direto. Usando a Regra de L’Hoˆpital,
temos
lim
x→∞
sec2
(2
x
) (−2
x2
)
− 1
x2
= lim
x→∞
2 sec2
(2
x
)
1
= 2 sec(0) = 2.
5) lim
x→∞
e
1
x − 1
1
x
= 1, pois lim
x→∞
e
1
x
(−1
x2
)
− 1
x2
= lim
x→∞
e
1
x
1
= e0 = 1.
6) lim
x→∞
ln (1 + 2x)
ln (1 + x2)
=
1
2
, pois lim
x→∞
2
1 + 2x
2x
1 + x2
= lim
x→∞
1 + x2
x+ 2x2
=
1
2
.
7) lim
x→0+
sen x
e
√
x − 1 = 0, pois limx→0+
cosx
e
√
x
1
2
√
x
= lim
x→0+
2
√
x cosx
e
√
x
=
0
1
= 0.
8) lim
x→∞
ex + x2
x− e2x = 0. Para levantar essa indeterminac¸a˜o e´ preciso aplicar a regra duas
vezes:
lim
x→∞
ex + 2x
1− 2 e2x continua indeterminado. Usamos a regra novamente.
lim
x→∞
ex + 2
−4 e2x = limx→∞
ex
−4 e2x −
1
2 e2x
= lim
x→∞
1
−4 ex −
1
2 e2x
= 0− 0 = 0.
Este limite determina o anterior, que por sua vez determina o limite original.
1
EP15 - gabarito - 2-2006 Ca´lculo I
9) lim
x→2
( 5
x2 + x− 6 −
1
x− 2
)
= −1
5
. Para determinar esse limite com a Regra de
L’Hoˆpital e´ necessa´rio fazer antes uma adaptac¸a˜o:
lim
x→2
( 5
x2 + x− 6 −
1
x− 2
)
= lim
x→2
5(x− 2)− (x2 + x− 6)
(x2 + x− 6)(x− 2) =
= lim
x→2
−(x− 2)2
(x2 + x− 6)(x− 2) =
= lim
x→2
−(x− 2)
(x2 + x− 6) .
Este u´ltimo limite e´ igual a lim
x→2
−1
2x+ 1
=
−1
5
.
10) lim
x→1
( 1
ln x
− 1
x− 1
)
=
1
2
Fac¸a o mesmo que foi feito no ı´tem anterior.
11) lim
x→−∞
x e2x = 0. Neste caso, e´ preciso tornar a expressa˜o que queremos analisar num
quociente:
lim
x→−∞
x e2x = lim
x→−∞
x
e−2x
. Agora, usamos a regra.
lim
x→−∞
1
−2 e−2x = 0.
12) lim
x→0+
x ln (2x) = 0.
Fac¸a o mesmo que foi feito no ı´tem anterior.
2