APOSTILA - ESTUDO DOS ÂNGULOS

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PRÉ-ENEM RAINHA DA PAZ 
DISCIPLINA: MATEMÁTICA 
PROF.: JEFFERSON PEDRO 
ASSUNTO: ESTUDANDO OS ÂNGULOS 
DATA: 
1. Estudando os ângulos 
 
Referência: 
Livro: A conquista da matemática – nova 
José Ruy Giovanni, Benedito Castrucci, José Ruy Giovanni Jr. 
Editora: FTD 
 
1. Estudando os ângulos 
Podemos ter a ideia de ângulos observando muitos dos objetos que nos rodeiam. 
Em algumas atividades, os ângulos assuem uma grande importância: na engenharia, na 
fabricação de móveis, na construção de rampas, no artesanato, na pintura e no desenho. 
1.1 O ÂNGULO E SEUS ELEMENTOS 
Veremos como representar matematicamente um ângulo e destacar suas partes principais, 
utilizando os modelos abaixo: 
 
 
 
 
 
Nos modelos matemáticos de figuras que surgem a ideia de ângulo, podemos destacar 
duas semi-retas de mesma origem e não-opostas. 
No ângulo da figura ao lado, podemos 
destacar os seguintes elementos: 
✓ O ponto O, origem das semi-retas, 
denominado vértice do ângulo. 
✓ As semi-retas AO e OB, 
denominadas lados do ângulo. 
Para identificar esse ângulo utilizamos 
a notação AÔB. 
 
 vértice do ângulo 
Observação: Quando não houver dúvidas quanto ao ângulo a que nos referimos, podemos 
utilizar uma notação que indica apenas o seu vértice. 
Figuras: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.2 MEDIDAS DE UM ÂNGULO 
A medida de um ângulo é dada pela medida de sua abertura, e unidade padrão utilizada é 
o grau, que se representa pelo símbolo ° após o número. 
1.2.1 Ângulos congruentes 
Consideremos os ângulos AÔB e MÊQ abaixo: 
 
 
 
 
 
Se transportarmos um ângulo sobre o outro, podemos notar que os vértices e os 
lados dos dois ângulos coincidem: 
 
 
 
 
 
Assim, AÔP e MÊQ possuem a mesma abertura e, portanto, a mesma medida. 
 
 
Dois ângulos que têm a mesma medida são chamados ângulos congruentes, e 
utilizamos o símbolo para relacioná-los. 
 
 
med (AÔB) = med (MÊQ) AÔB = MÊQ 
 usamos o símbolo = usamos o símbolo = 
 quando comparamos quando comparamos 
 medidas ângulos 
 
 
1.2.2 Ângulo raso e ângulo nulo 
Quando duas semi-retas são opostas, dizemos que formam um ângulo raso ou de meia-
volta. 
 
 
 BÂC é um ângulo raso ou de meia volta 
 
Quando duas semirretas coincidem, obtemos o ângulo nulo. 
 
 
 
 
Exercícios 
1 – Identifique o vértice e os lados dos ângulos indicados abaixo: 
 
 
 
 
 
2 – Na figura abaixo, identifique todos os ângulos e nomeie-os: 
 
 
 
 
 
1.3 ÂNGULOS CONSEGUTIVOS E ÂNGULOS ADJACENTES 
Na figura abaixo, podemos destacar três ângulos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Comparando os ângulos dois a dois, temos: 
• AÔB e BÔC têm o vértice comum (ponto O). 
• AÔB e BÔC têm o lado OB comum. 
 
 
 
• AÔB e AÔC têm o vértice comum (ponto O). 
• AÔB e AÔC têm o lado OA comum. 
 
 
 
• BÔC e AÔC tem o vértice comum (ponto O). 
• BÔC e AÔC têm o lado OC comum. 
 
Dizemos que: 
Dois ângulos que possuem o mesmo vértice e têm um lado comum são 
denominados ângulos consecutivos. 
No exemplo visto: 
✓ AÔB e BÔC são ângulos consecutivos. 
✓ AÔB e AÔC são ângulos consecutivos. 
✓ BÔC e AÔC são ângulos consecutivos. 
 
Nos três casos de ângulos consecutivos vistos anteriormente, podemos notar que: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dizemos que: 
Dois ânulos consecutivos que não possuem ponto interno comum são 
denominados ângulos adjacentes. 
 
Então, AÔB e BÔC são ângulos adjacentes. 
 
1.4 BISSETRIZ DE UM ÂNGULO 
Seja o ângulo AÔB da figura, sendo med (AÔB) = 50º. 
 
 
 
 
 
A partir do vértice O, traçamos uma semirreta OP que divide o ânulo AÔB em 
dois ânulos adjacentes de mesma medida. 
 
 
 
 
 
A essa semirreta OP damos o nome de bissetriz do ângulo AÔB. 
 
Podemos, então, definir: 
 Bissetriz de um ângulo é a semirreta de origem no vértice que determina, com 
seus lados, dois ângulos adjacentes congruentes. 
 
Exercício 
1 - Na figura abaixo, destaque dois pares de ângulos consecutivos: 
 
 
 
 
 
 
 
2 - Em cada figura, destaque os pares de ângulos adjacentes: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.5 ÂNGULO RETO, ÂNGULO AGUDO E ÂNGULO OBTUSO 
Seja o ângulo raso (ou de meia-volta) ABC abaixo. Você já sabe que um ângulo raso 
mede 180º. 
 
 
 
Traçando a Bissetriz BM desse ângulo, vamos obter dois ângulos adjacentes congruentes 
e, portanto, medindo 90º cada um. 
 
 
 
 
 
 
✓ Cada um desses ângulos de medida 90º é denominado ânulo reto. 
✓ Utilizamos o símbolo para destacar um ânulo reto. 
✓ med (ABM) = med (CBM) = 90º 
✓ Os ângulos ABM e CBM são retos. 
 
Podemos ainda destacar dois tipos de ânulos que são nomeados a partir da 
comparação de suas medidas com a medida de um ângulo reto: são os ângulos agudos e 
obtusos. 
Denominamos ânulo agudo todo ângulo cuja medida é menor que a medida de um 
ângulo reto. 
 
 
 
 
✓ med (AÔB) < 90º 
✓ AÔB é um ângulo agudo. 
 
Denominamos ângulo obtuso todo ângulo cuja medida é maior que a medida de 
um ângulo reto e menor que a medida de um ângulo de meia volta. 
 
 
 
 
 
✓ 90º < med (AÔB) < 180º 
✓ AÔB é um ângulo obtuso. 
 
Retas perpendiculares 
Se traçarmos duas retas num plano, tais que sejam concorrentes (possuam um ponto em 
comum), eles formam entre si quatro ângulos congruentes, ou seja, de mesma medida, 
como podemos ver na figura abaixo. 
 
 
 
 
 
Logo, cada um desses ângulos mede 90º. 
a= b = c = d = 90º 
Quando duas retas concorrentes formam entre si quadro ângulos retos, dizemos que as 
retas são perpendiculares e utilizamos o símbolo para representar esse 
perpendicularismo. 
 
Na figura, r e s formam entre si quatro ângulos retos; então r s. 
 
1.6 ÂNGULOS COMPLEMENTARES E ÂNGULOS SUPLEMENTARES 
 Ângulos complementares 
Na figura, vamos destacar os ângulos adjacentes AÔB e CÔA. Você pode notar que 
juntos eles formam um ângulo reto, ou seja, a soma de suas medidas é igual a 90º. 
 
 
 
 
 
 
Dizemos que os ângulos AÔB e CÔA são ângulos complementares ou, ainda, que CÔA 
é complemento de AÔB, e vice-versa. 
Dizemos que: 
Dois ângulos são complementares quando a soma de suas medidas é igual a 90º 
Assim: 
Dois ângulos que medem 38º e 52º são complementares, pois 38º + 52º = 90º 
Dizemos que o ângulo de 38º é o complemento do ângulo de 52º, e vice-versa. 
Ângulos suplementares 
Considerando novamente o ângulo AÔB, podemos traçar o ângulo DÔA, tal que med 
(DÔA) = 120º, e teremos: 
 
 
 
 
 
 
med (AÔB) + med (DÔA) = 60º + 120º = 180º 
Dizemos que AÔB e DÔA são adjacentes suplementares ou, ainda, que DÔA é o 
suplemento de AÔB, é vice-versa. 
Dizemos que: 
Dois ângulos são suplementares quando a soma de suas medidas é igual a 180º. 
Assim: 
Dois ângulos que medem 45º e 135º são suplementares, pois 45º + 135º = 180º. 
Dizemos que o ângulo de 45º é o suplemento do ângulo de 135º, e vice-versa.