lista3_alg_linearGAB

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LISTA 3 DE ÁLGEBRA LINEAR. 
 
 
 
1) Dada f: R2  R3 
 f(x,y) = ( 2x, 0, x + y). Verifique se é linear. 
 
Resp: Sim. 
Precisamos verificar que: {
𝑓(𝑢 + 𝑣) = 𝑓(𝑢) + 𝑓(𝑣)
𝑓(𝑘𝑢) = 𝑘𝑓(𝑢)
 
i) Seja 𝑢 = (𝑥1, 𝑦1) 𝑒 𝑣 = (𝑥2, 𝑦2) 𝑓(𝑢 + 𝑣) = 𝑓(𝑥1 + 𝑥2, 𝑦1 + 𝑦2) = 
(2(𝑥1 + 𝑥2), 0 , 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑦1 + 𝑦2) = (2𝑥1, 0, 𝑦1 + 𝑥1) + (2𝑥2, 0, 𝑦2 + 𝑥2) = 𝑓(𝑢) + 𝑓(𝑣) 
ii) 𝑓(𝑘𝑢) = 𝑓(𝑘𝑥1, 𝑘𝑦1) = (2𝑘𝑥1, 0, 𝑘𝑦1 + 𝑘𝑥1) = 𝑘(2𝑥1, 0, 𝑦1 + 𝑥1) = 𝑘𝑓(𝑢) 
f é uma transformação linear. 
 
2) a) Qual é a transformação linear f: R2  R3 tal que f(1,1) = (3,2,1) e f(0,-2) = (0,1,0)? 
Resp: 𝑓(𝑥, 𝑦) = (3𝑥,
5𝑥−𝑦
2
, 𝑥) 
Dado que os vetores (1,1) 𝑒 (0, −2) formam uma base do 𝑅2, temos qualquer vetor do 𝑅2 é uma combinação 
linear dessa base: 
(𝑥, 𝑦) = 𝑎(1,1) + 𝑏(0, −2) 
 (𝑥, 𝑦) = (𝑎, 𝑎 − 2𝑏) 
Determinando as coordenadas, 𝑎 = 𝑥 𝑒 𝑦 = 𝑎 − 2𝑏. 
Mas, 𝑦 = 𝑥 − 2𝑏 → 𝑏 = 
𝑥−𝑦
2
. 
Aplicando a transformação em (𝑥, 𝑦) = 𝑎(1,1) + 𝑏(0, −2): 
 
𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑎𝑓(1,1) + 𝑏𝑓(0, −2) = 𝑥(3,2,1) +
𝑥 − 𝑦
2
 (0,1,0) = 
 = (3𝑥, 2𝑥 +
𝑥−𝑦
2
, 𝑥) = (3x, 
5𝑥−𝑦
2
, 𝑥) 
 
∴ 𝑓(𝑥, 𝑦) = (3x, 
5𝑥−𝑦
2
, 𝑥) 
 
b) ache 𝑓(1,0) 𝑒 𝑓(0,1) 
 
𝑓(1,0) = (3.1,
5.1−0
2
, 1) = (3,
5
2
, 1) 
𝑓(0,1) = (3.0,
5.0−1
2
, 0) = (0,
−1
2
, 0) 
 
 
 
 
 
 
 
c) ache a matriz canônica de f 
Resp: A matriz canônica de f, é dada pelas colunas de 𝑓(1,0) 𝑒 𝑓(0,1): M = 5 1
2 2
3 0
1 0
 
 

 
  
 
 
3) Seja f: R2  R2 tal que a matriz de f é M = 
1 2
0 1
  
 
 
. Ache os vetores u e v tais que: 
a) 𝑓(𝑢) = 𝑢 Resp: (𝑥, −𝑥) 
b) 𝑓(𝑣) = −𝑣 Resp: (𝑥, 0) 
 
a) 𝑓(𝑢) = 𝑢, 𝑢 =? 
𝑓(𝑢) = 𝐴𝑢 = 𝑢 
(
−1 −2
0 1
) . (
𝑥
𝑦) = (
𝑥
𝑦) 
(
−𝑥 − 2𝑦
𝑦
) = (
𝑥
𝑦) 
 
Temos o sistema linear: 
{
−2𝑥 − 2𝑦 = 0
0𝑦 = 0
 
 𝑦 é qualquer número real, e 𝑥 = −𝑦, então, 𝑢 = (𝑥, −𝑥) = 𝑥(1, −1) 
 
b) 𝑓(𝑣) = −𝑣, 𝑣 =? 
 
𝑓(𝑣) = 𝐴𝑣 = −𝑣 
(
−1 −2
0 1
) . (
𝑥
𝑦) = (
−𝑥
−𝑦) 
(
−𝑥 − 2𝑦
𝑦
) = (
−𝑥
−𝑦) 
Temos o sistema linear: 
{
0𝑥 − 2𝑦 = 0
2𝑦 = 0
 
 𝑦 = 0 e 𝑥 é qualquer número real, então, 𝑣 = (𝑥, 0) = 𝑥(1,0). 
 
 
 
4) Considere f: R3  R3 linear 
 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑧, 𝑥 – 𝑦, −𝑧) 
 
a) ache N(f), em seguida exiba uma base e a dimensão de N(f). 
b) ache Im(f), seguida exiba uma base e a dimensão de Im(f). 
 
Resp: dimN(f) = 1 e dim Im(f) = 2 
 
a) N(f) =? 
𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑧, 𝑥 − 𝑦, −𝑧) = (0, 0, 0) 
𝑧 = 0 𝑒 𝑥 = 𝑦. 
𝑁(𝑓) = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ 𝑅3/ (𝑥, 𝑥, 0)} 
𝐷𝑖𝑚(𝑓) = 1 
b) Im(f)=? 
𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑧, 𝑥 − 𝑦, −𝑧) = (𝑎, 𝑏, 𝑐) 
Então temos que: 𝑎 = 𝑧, 𝑏 = 𝑥 − 𝑦 𝑒 𝑧 = −𝑧. 
𝐼𝑚(𝑓) = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ 𝑅3/ 𝑧(1,0, −1), (𝑥 − 𝑦)(0,1,0)} 
Dim(Im(f))=2 
 
 
 
 
5) Determinar os autovalores e autovetores do operador linear: 
 
𝑇 ∶ 𝑅2 → 𝑅2, 𝑇(𝑥, 𝑦) = (4𝑥 + 5𝑦, 2𝑥 + 𝑦) 
Resposta: 
Autovalores de 







12
54
A
, matriz canônica de T. 
Resolvemos a equação característica det (A – I) = 0: 
 
























12
54
10
01
12
54
IA
 
 
det (A – I) = 0  (4 – ) (1 – ) – 10 = 0  2 – 5 – 6 = 0 
 1 = – 1 e 2 = 6. 
 autovetores de A ou de T: 
 
Para cada autovalor  encontrado, resolvemos o sistema linear (A – I)v = 0: 
 
-xy
yx
yx
y
x
y
x



































 
022
055
 
0
0
)1(12
5)1(4
0)(
;1
1
1
vIA
v


 
Então, v1 = (x, -x) sendo um de seus representantes o vetor v1 = ( 1,- 1). 
 
.
2
5
 
052
052
 
0
0
612
564
0)(
;62
yx
yx
yx
y
x
y
x



































IA
v


 
 
Então v2 = (
2
5
y, y) sendo um de seus representantes o vetor v2 = (5, 2). 
 
 
6) Sejam, f: R2  R3, uma transformação linear. E = {(1,-1), (0,2)} e F= {(1,0,-1), (0,1,2), (1,2,0)} bases de R2 
e R3 respectivamente. Sendo 
1 0
[ ] 1 1
0 1
E
FT
 
 

 
  
, 
ache f(x,y) 
 
 Resp: Como E é uma base do R2, então, qualquer vetor do R2, é combinação linear da base: 
 
(𝑥, 𝑦) = 𝑎(1, −1) + 𝑏(0,2) → (𝑥, 𝑦) = (𝑎, 2𝑏 − 𝑎) → 𝑎 = 𝑥 𝑒 𝑏 = 
𝑥+𝑦
2
 . 
 
Aplicando a transformação a combinação linear acima, temos: 
 
𝑇(𝑥, 𝑦) = 𝑎𝑇(1, −1) + 𝑏𝑇(0,2) 
 
Precisamos determinar 𝑇(1, −1)𝑒 𝑇(0,2). Mas, 𝑇(1, −1) 𝑒 𝑇(0,2) são imagem dos vetores (1, −1) 𝑒 (0,2), logo 
𝑇(1, −1)𝑒 𝑇(0,2) formam uma combinação com a base F. 
𝑇(1, −1) = 𝑑(1,0, −1) + 𝑒(0,1,2) + 𝑓(1,2,0) e 𝑇(0,2) = 𝑔(1,0, −1) + ℎ(0,1,2) + 𝑖(1,2,0). 
 
Para determinar as coordenadas, devemos utilizar o teorema: [𝑇(𝑣)]𝐹 = [𝑇]𝐹
𝐸[𝑣]𝐸. 
 
 
[
𝑑
𝑒
𝑓
]
𝐹
= (
1 0
1 1
0 −1
) . [
1
−1
] = [
1
0
1
] 
[
𝑔
ℎ
𝑖
]
𝐹
= (
1 0
1 1
0 −1
) . [
0
2
] = [
0
2
−2
] 
 
𝑇(1, −1) = 1. (1,0, −1) + 0. (0,1,2) + 1. (1,2,0) = (2, 2, −1) 
 
 𝑇(0,2) = 0. (1,0, −1) + 2. (0,1,2) − 2(1,2,0) = (-2, -2,4) 
 
Voltando para 
𝑇(𝑥, 𝑦) = 𝑎𝑇(1, −1) + 𝑏𝑇(0,2) = 𝑥(2,2, −1) + (
𝑥 + 𝑦
2
) (−2, −2,4) = 
= (2𝑥 − 𝑥 − 𝑦, 2𝑥 − 𝑥 − 𝑦, −𝑥 + 2𝑥 + 2𝑦) = (𝑥 − 𝑦, 𝑥 − 𝑦, 𝑥 + 2𝑦) 
 
𝑇(𝑥, 𝑦) = (𝑥 − 𝑦, 𝑥 − 𝑦, 𝑥 + 2𝑦) 
 
 
7) Seja P3 = conjunto dos polinômios com grau menor ou igual à 3 
a) T : P3 P3 
 f  f’ (derivada). Mostre que T é linear. 
R. Primeiro vamos determinar T. Seja 𝑃3(𝑥) = 𝑎𝑥
3 + 𝑏𝑥2 + 𝑐𝑥+d , então, 𝑇(𝑃(𝑥)) = 3𝑎𝑥2 + 2𝑏𝑥 + 𝑐 
 
b) ache N(T), em seguida encontre uma base e a dimensão de N(T) 
Resp: dim N(T) = 1 
𝑇(𝑃(𝑥)) = 3𝑎𝑥2 + 2𝑏𝑥 + 𝑐 = 0𝑥2 + 0𝑥 + 0  𝑎 = 0, 𝑏 = 0 𝑒 𝑐 = 0 
c) ache a imagem de T, em seguida encontre uma base e a dimensão da Im(T). 
Resp: dim Im(T) = 3 
𝑇(𝑃(𝑥)) = 3𝑎𝑥2 + 2𝑏𝑥 + 𝑐 
 
8) Ache o polinômio característico de A : 
2 3
5 1
A
 
  
 
 
 
 Resp: 𝑝(𝜆) = det(𝐴 − 𝜆𝐼) = |
2 − 𝜆 −3
5 1 − 𝜆
| = (2 − 𝜆)(1 − 𝜆) + 15 = 0 
 
𝑝(𝜆) = 2 − 2𝜆 − 𝜆 + 𝜆2 + 15 = 𝜆2 − 3𝜆 + 17 = 0 
 
𝑝(𝜆) = 𝜆2 − 3𝜆 + 17 = 0 
 
 
 
9) Seja 
1 4
2 3
A
 
  
 
. a) Determine os autovalores de A e os respectivos autovetores. 
Resp: 5 , -1, 𝑣1 = (1,1) 𝑒 𝑣 2 = (2, −1). 
 
Resolução: 
autovalores de 







32
41
A
, matriz canônica de T. 
Resolvemos a equação característica det (A – I) = 0: 
 
























32
41
10
01
32
41
IA
 
 
det (A – I) = 0  (1– ) (3– ) – 8= 0  2 – 4 – 5 = 0 
 1 = – 1 e 2 = 5. 
 autovetores de A ou de T: 
 
Para cada autovalor  encontrado, resolvemos o sistema linear (A – I)v = 0: 
 
2
 
042
042
 
0
0
)1(32
4)1(1
0)(
;1
1
1
x
y
yx
yx
y
x
y
x



































vIA
v


 
Então, 
1
v = (𝑥, −
𝑥
2
) sendo um de seus representantes o vetor v1 = ( 2,- 1). 
 
. 
022
044
 
0
0
532
451
0)(
;52
yx
yx
yx
y
x
y
x



































IA
v


 
 
Então 
2
v = (𝑥, 𝑥) sendo um de seus representantes o vetor v2 = (1, 1). 
 
b) Ache D = P-1.A.P onde P é a matriz coluna dos autovetores. Explique este resultado. 
 
Solução: 𝑃 = [ 𝑣1 𝑣2] = [
2 1
−1 1
] 
 𝑃−1 = 
1
3
[
1 −1
1 2
] 
Logo, 𝐷 = [
𝜆1 0
0 𝜆2
] = [
−1 0
0 5
] =
13
[
1 −1
1 2
] . [
1 4
2 3
] [
2 1
−1 1
]