Encontre uma solução para o problema do valor inicial dado por y′′′+12y′′+36y′=0 com as condições y′′(0)=−7,y′(0)=1,y(0)=0 prova da FCE

Para resolver esse problema de valor inicial, podemos utilizar o método da equação característica. Primeiramente, encontramos a equação característica associada à equação diferencial homogênea, que é dada por r^3 + 12r^2 + 36r = 0. Fatorando, temos r(r+6)^2 = 0, o que nos dá as raízes r1 = 0 e r2 = r3 = -6. Assim, a solução geral da equação homogênea é dada por yh(t) = c1 + c2*e^(-6t) + c3*t*e^(-6t). Agora, precisamos encontrar a solução particular da equação não homogênea. Como a equação não homogênea tem termo constante, podemos tentar uma solução particular na forma de uma função constante, ou seja, yp(t) = k. Substituindo na equação não homogênea, temos 0 + 0 + 36k = 0, o que nos dá k = 0. Portanto, a solução geral da equação não homogênea é dada por y(t) = yh(t) + yp(t) = c1 + c2*e^(-6t) + c3*t*e^(-6t). Para encontrar os valores das constantes c1, c2 e c3, utilizamos as condições iniciais dadas. Temos y(0) = 0, y'(0) = 1 e y''(0) = -7. Substituindo na solução geral, obtemos o sistema de equações: c1 + c2 = 0 -6c2 + c3 = 1 36c2 - 6c3 = -7 Resolvendo esse sistema, encontramos c1 = 0, c2 = 0,5 e c3 = -1/12. Portanto, a solução do problema de valor inicial é dada por y(t) = 0,5*(1 - t*e^(-6t)).