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CATÓLICA ÁLGEBRA LINEAR I 1ª LISTA DE EXERCÍCIOS PROF. CLÁUDIO MACIEL Aluno:____________________________________________ Turma:_______ Período_______ Matrizes Operações. Adição: Seja A = (aij)mxn e B = (bij)mxn → A + B = C, C = ( aij + bij)mxn Propriedades: 1) (A + B) = B + A 2) (A + B) + C = A + ( B + C) 3) A + 0 = 0 + A = A 4) A + ( – A ) = 0 ; para A, B, C, 0 Є Mmxn(R). 0 = matriz nula. Produto por um escalar: Sejam A = (aij)mxn e k Є R → kA = ( kaij)mxn. Propriedades: 1) ( k.k1) = k ( k1.A) 2) ( k + k1).A = k.A + k1.A 3) k.( A + B ) = k.A + k.B 4) 1.A = A, para A, B Є Mmxn(R) e k, k1 Є R Produto de Matrizes: Sejam A = (aij)mxn e B = (bjp)nxp → A.B = C, C = ( cip)mxp e cip = A(m).B(n). Propriedades: 1) (A.B).C = A.(B.C) 2) A.(B + C) = A.B + A.C 3) (B + C).A = B.A + C.A 4) k.(A.B) = (k.A).B = A.(kB) ONB: 1) A.B ≠ B.A 2) A2 = A.A ; A3 = A2.A ; A4 = A3.A ; ... ; An+1 = An.A e A0 = In 3) Matriz Identidade ( ou unitária) In = (aij) tal que 4) Polinômios de uma matriz: f(A)= a0In + a1A + a2A2 + ... + an An. 5) Matriz Escalar . 6) AT = matriz transposta de A e (AB) T = BTAT 6) Traço de A: tr(A) = a11+a22+a33+ ... + ann. Propriedades: 1) tr(A + B) = tr(A) + tr(B) 2) tr(kA) = k tr(A) 3) tr (AT) = tr (A), 4) tr (AB) = tr (BA). Matriz Inversível ( ou não singular): Seja An ЄMn (R) → A.A – 1 = In . Propriedade: , Ak são inversíveis. Matrizes Quadradas Reais Especiais. Matriz Simétirca. Uma matriz A é simétrica se A = AT, isto é, os seus elementos simétricos são iguais aij = aji. Exemplo: Matriz Anti-Simétrica. Uma matriz A é anti-simétrica se A = – AT, isto é, se cada aij = – aji e isto implica que aii = 0 ( os elementos da diagonal principal são todos nulos). Exemplo: Matriz Ortogonal. Uma matriz inversível A é ortogonal se AT = A-1, isto é AAT = AA-1 = In. Exemplo: Matriz Normal. Uma matriz real A é normal se comuta com sua transposta, isto é, AAT = ATA. Obs: Se A é simétrica, ortogonal ou anti-simétrica então A é normal. Exemplo: . EXERCÍCIOS: 1º) Considere as matrizes . Calcule: a) 5.A – 2B b) 2.A + 3B c) 2C – 3D d) AB e) (AB)C f) A(BC) g) A2 e A3 h) AD i) BD l) CD m) AT n) BT o) (AB)T p) BTAT q) (A+B)T r) AT + BT s) (2.A)T t) 2.AT u) (AT)T v) ATBT x) - AT 2º) Calcule. 3º) Sejam Calcule: a) f (A) para f (x) = x3 – 2x2 – 5 e g(A) para g (x) = x2 – 3x + 17 b) f (B) para f (x) = x2 + 2x – 22 e g(B) para g (x) = x2 – 3x – 6 4º) Calcule a inversa, se possível, de cada matriz: 5º) No conjunto M3x2 ( R ) , considere as matrizes. . Calcular 6º) Sejam A = diag( 2,3,5) , B = diag( 7,0,4). Calcule: a) AB, A2 e B2 b) f(A), onde f(x) = x2 + 3x – 2 c) A-1 e B -1 d) Verificar que 7º) Sejam A = diag(1,2, -3 , B = diag( 2, -5, 0). Calcule: a) AB, A2 e B2 b) f(A), onde f(x) = x2 + 4x – 3 c) A-1 e B -1 8º) Calcule x e B, sabendo que é simétrica. 9º) Determine o traço das seguintes matrizes 10º) Seja . Determine os valores de k para os quais A é uma raiz de: a) f(x) = x2 – 7x + 10 b) g(x) = x2 – 25 c) h(x) = x2 – 4 11º) Calcule x,y,z para que A seja simétrica. 12º) Para cada número real α consideremos a matriz a) Mostrar que b) Calcular 13º) Determinar se possível x e y em R a fim de que a matriz seja ortogonal 14º) Determinar a em R a fim de que a matriz real seja inversível em M3(R). 15º) Dada a matriz , determine a matriz 16º) Determinar x , y e z de modo que a matriz A seja ortogonal : 17º) Sejam A, B, C , D e X matrizes quadradas, de mesma ordem e inversíveis, resolver as equações matriciais onde x é a variável. ADX = ABC b) ABX = C c ) CAXT = C d) DXT = DC e) AX2C = AXBC f) ABCX2D2 = ABCXD g) D-1XD = AC h) CX + 2B = EB Sistemas Escalone , classifique e dê o conjunto solução dos sistemas nas variáveis x, y e z: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14) 15) 16) 17) 18) 19) Discutir os sistemas nas variáveis x , y , z . a) b) c) d) e) f) 20) Discutir os sistemas lineares em função de k. a) b) e) 21) Determinar k para que os sistemas tenham soluções próprias. a) b) c) Vetores 1) Dados os vetores u = < 1,2,3 > , v = < 2,-3,1 > e w = < 3,2,-1> . Determine : u . v + v .w + u . w b) ( u + v ) . ( 2w – v ) 2) Dados os vetores , determine : a) 3) Determine a) u + v + w b) (u + v ) – w c) 2u – v + 3w d) (u . v ) + w u = 2i –3j + k , v = 4i + j –3k, w = j + 5k u = i –2j + 2k, v = 3j + 2k, w = -4i + j –3k u = 2i + j, v = i –3j + k, w = 4i + k u = i, v = i + j , w = i + j + k 4) Sejam u = <1,3> , v = <2,1> e w = <4,-1>. Determine o vetor x tal que 2u – v + x =7x + w. 5) Determine u e v se u + 2v = 3i – k e 3u – v = i + j + k. 6) Esboce os vetores a, b, 2 a , -3b , a + b e a – b, para: a) a = 2i + 3j + 4k b = i –2j +2k b) a = -i + 2j + 3k b = -2j + k 7) Dados os pontos P ( 3, -2, -1) , Q (1, 5, 4) , R ( 2, 0 ,-6) e S ( -4, 1, 5), calcule. 8) Dados os vetores u = < 1, 2, 0 >, v = < 3, -2, 4 >, w = < -1, -2, 3 > e os escalares a = 3 e b = 2 Verificar as propriedades: Soma: Produto 1a) u + v = v + u 1 p) ( ab) u = a (bu) 2 a) ( u + v) + w = u + ( v + w ) 2 p) ( a + b ) u = au + bu 3 a) u + 0 = u 3 p) a ( u + v ) = au + av 4 a) u + ( - u) = 0 4 p) 1. u = u _1201092192.unknown _1232040467.unknown _1326792439.unknown _1326794344.unknown_1405866327.unknown _1405866793.unknown _1326794579.unknown _1326792872.unknown _1326794268.unknown _1326792827.unknown _1326792842.unknown _1326792252.unknown _1326792321.unknown _1248067224.unknown _1280131688.unknown _1201353362.unknown _1201354485.unknown _1201355212.unknown _1232040412.unknown _1232040439.unknown _1201355262.unknown _1201355440.unknown _1201354803.unknown _1201355046.unknown _1201354852.unknown _1201354569.unknown _1201354349.unknown _1201354460.unknown _1201353756.unknown _1201092684.unknown _1201352777.unknown _1201352896.unknown _1201352614.unknown _1201092349.unknown _1201092467.unknown _1201092280.unknown _1201004642.unknown _1201091052.unknown _1201091342.unknown _1201091536.unknown _1201091207.unknown _1201006096.unknown _1201006171.unknown _1201005392.unknown _1200911737.unknown _1200913122.unknown _1200913403.unknown _1200912088.unknown _996261964.unknown _1200902342.unknown _1200903320.unknown _1047325979.unknown _1200902109.unknown _1047326669.unknown _1047309613.unknown _996240462.unknown _996261757.unknown _966313888.unknown _996240290.unknown _936291811.unknown
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