Apostila - Álgebra Linear e Vetores

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Álgebra	Linear	
	
	
	
	
Álgebra	 linear	 é	 um	 ramo	 da	 matemática	 que	 surgiu	 do	 estudo	
detalhado	 de	 sistemas	 de	 equações	 lineares,	 sejam	 elas	 algébricas	 ou	
diferenciais.	 A	 álgebra	 linear	 se	 utiliza	 de	 alguns	 conceitos	 e	 estruturas	
fundamentais	da	matemática	como	vetores,	 espaços	vetoriais,	 transformações	
lineares,	sistemas	de	equações	lineares	e	matrizes.	
	
Autor:	Professor	Izaias	Cordeiro	Néri	
Licenciado	em	Matemática	pelo	Instituto	de	Matemática	e	Estatística	da	Universidade	de	São	Paulo	–	IME/USP	
Mestre	em	Educação	Matemática		
	izaias.neri@anhembimorumbi.edu.br	
	
	
	 	
A	apostila	está	dividida	em	quatro	capítulos	e	abrange	o	conteúdo	programático	da	disciplina	
Álgebra	Linear	dos	cursos	de	Engenharia	e	Tecnologia	da	Universidade	Anhembi	Morumbi.	O	
primeiro	 capítulo	 aborda	 o	 conteúdo	 sobre	 matrizes,	 o	 segundo	 sobre	 determinantes,	 o	
terceiro	sobre	sistemas	lineares	e	o	quarto	sobre	vetores.	Cada	capítulo	está	acompanhado	de	
exemplos	resolvidos	e	de	uma	lista	de	exercícios	propostos.	
	
	
	
	
2014	
 
Elementos para Álgebra Linear 
 
 
Professor Izaias Cordeiro Néri – izaias.neri@anhembimorumbi.edu.br 
2
Sumário 
CAPÍTULO 01 ‐ MATRIZES ......................................................................................................................................... 4 
1.0 INTRODUÇÃO ..................................................................................................................................................... 4 
1.1 MATRIZ .............................................................................................................................................................. 4 
1.2 NOTAÇÃO E FORMAÇÃO DE UMA MATRIZ .......................................................................................................... 5 
1.3 MATRIZES ESPECIAIS .......................................................................................................................................... 6 
1.3.1 MATRIZ LINHA ........................................................................................................................................................... 6 
1.3.2 MATRIZ COLUNA........................................................................................................................................................ 6 
1.3.3 MATRIZ QUADRADA ................................................................................................................................................... 6 
1.3.3.1 DIAGONAIS DE UMA MATRIZ QUADRADA ..................................................................................................................... 6 
1.3.4 MATRIZ NULA ........................................................................................................................................................... 7 
1.3.5 MATRIZ DIAGONAL ..................................................................................................................................................... 7 
1.3.6 MATRIZ IDENTIDADE ................................................................................................................................................... 7 
1.3.7 MATRIZ TRANSPOSTA ................................................................................................................................................. 8 
1.3.8 MATRIZ SIMÉTRICA E ANTI‐SIMÉTRICA ........................................................................................................................... 8 
1.3.9 MATRIZ OPOSTA ........................................................................................................................................................ 8 
1.4 OPERAÇÕES COM MATRIZES .............................................................................................................................. 9 
1.4.1 IGUALDADE DE MATRIZES ............................................................................................................................................ 9 
1.4.2 ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO............................................................................................................................................... 10 
1.4.3 PRODUTO DE UMA MATRIZ POR UM ESCALAR ................................................................................................................ 11 
1.5 MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES ......................................................................................................................... 14 
1.6 MATRIZ INVERSA (PARTE I) ............................................................................................................................... 16 
CAPÍTULO 02 ‐ DETERMINANTES ............................................................................................................................ 20 
2.0 INTRODUÇÃO ................................................................................................................................................... 20 
2.1 DETERMINANTE DE 1ª ORDEM ......................................................................................................................... 20 
2.2 DETERMINANTE DE 2ª ORDEM ......................................................................................................................... 20 
2.3 REGRA DE SARRUS ........................................................................................................................................... 21 
2.4 MENOR COMPLEMENTAR ................................................................................................................................ 25 
2.5 COFATOR ......................................................................................................................................................... 26 
2.6 TEOREMA DE LAPLACE ..................................................................................................................................... 26 
2.7 PROPRIEDADES DOS DETERMINANTES ............................................................................................................. 29 
2.7.1 FILA NULA .............................................................................................................................................................. 29 
2.7.2 FILAS PARALELAS IGUAIS ............................................................................................................................................ 29 
2.7.3 FILAS PARALELAS PROPORCIONAIS ............................................................................................................................... 30 
2.7.4 FILAS PARALELAS COM COMBINAÇÕES LINEARES ............................................................................................................ 30 
2.7.5 TEOREMA DE JACOBI ................................................................................................................................................. 30 
2.7.6 MATRIZ TRANSPOSTA ............................................................................................................................................... 30 
2.7.7 PRODUTO DE UMA FILA POR UM ESCALAR...................................................................................................................... 31 
2.7.8 TROCA DE FILAS PARALELAS ........................................................................................................................................ 31 
2.7.9 MATRIZ TRIANGULAR ................................................................................................................................................ 31 
2.8 OUTRAS PROPRIEDADES .................................................................................................................................. 31 
2.8.1 TEOREMA DE BINET ..................................................................................................................................................31 
2.8.2 PRODUTO DE UM ESCALAR POR TODA A MATRIZ ............................................................................................................. 32 
2.9 REGRA DE CHIÓ ................................................................................................................................................ 33 
A1 – APÊNDICE CAPÍTULO 02 ‐ MATRIZ INVERSA (PARTE II) .................................................................................... 35 
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CAPÍTULO 03 ‐ SISTEMAS LINEARES ........................................................................................................................ 38 
3.0 EQUAÇÃO LINEAR ............................................................................................................................................ 38 
3.1 SISTEMA LINEAR .............................................................................................................................................. 38 
3.2 SOLUÇÃO DO SISTEMA LINEAR ......................................................................................................................... 38 
3.3 MATRIZES ASSOCIADAS A UM SISTEMA LINEAR ................................................................................................ 39 
3.3.1 MATRIZ INCOMPLETA................................................................................................................................................ 39 
3.3.2 MATRIZ COMPLETA .................................................................................................................................................. 39 
3.4 SISTEMAS HOMOGÊNEOS ................................................................................................................................ 39 
3.4.1 SOLUÇÕES DE UM SISTEMA HOMOGÊNEO ...................................................................................................................... 40 
3.4.2 CLASSIFICAÇÃO DE UM SISTEMA QUANTO AO NÚMERO DE SOLUÇÕES .................................................................................. 40 
3.5 TEOREMA DE CRAMER ..................................................................................................................................... 40 
3.5 DISCUSSÃO DE UM SISTEMA LINEAR ................................................................................................................ 43 
CAPÍTULO 04 ‐ VETORES ......................................................................................................................................... 45 
4.0 VETORES .......................................................................................................................................................... 45 
4.0.1 SOMA DE VETORES ................................................................................................................................................... 45 
4.0.2 VETOR OPOSTO ....................................................................................................................................................... 46 
4.0.3 PRODUTO POR UM ESCALAR ...................................................................................................................................... 46 
4.1 VETORES EM SISTEMAS DE COORDENADAS ...................................................................................................... 47 
4.1.1 VETORES NO  2  .................................................................................................................................................... 47 
4.1.1.1 IGUALDADE E OPERAÇÕES ....................................................................................................................................... 47 
4.1.2 VETORES NO  3  ................................................................................................................................................... 49 
4.2 COMPONENTES DE UM VETOR ......................................................................................................................... 50 
4.3 NORMA DE UM VETOR ..................................................................................................................................... 52 
4.3.1 EM  2 ............................................................................................................................................................... 52 
4.3.2 EM   3  ............................................................................................................................................................... 52 
4.4 DISTÂNCIA ....................................................................................................................................................... 53 
4.5 ARITMÉTICA VETORIAL ..................................................................................................................................... 53 
4.6 PRODUTO ESCALAR .......................................................................................................................................... 55 
4.7 PRODUTO ESCALAR EM TERMOS DE COMPONENTES ........................................................................................ 56 
4.8 ÂNGULO ENTRE VETORES ................................................................................................................................. 57 
4.9 VETORES ORTOGONAIS .................................................................................................................................... 59 
4.10 PROJEÇÃO ORTOGONAL ................................................................................................................................. 60 
4.11 PRODUTO VETORIAL ...................................................................................................................................... 63 
4.12 RELAÇÕES ENTRE OS PRODUTOS .................................................................................................................... 63 
4.12.1  u v  É PERPENDICULAR A U E A V ....................................................................................................................... 63 
4.13 VETORES UNITÁRIOS CANÔNICOS .................................................................................................................. 64 
4.14 PRODUTO VETORIAL EM FORMATO DE DETERMINANTE ................................................................................. 64 
4.15 ÁREA DE UM PARALELOGRAMO ..................................................................................................................... 65 
4.16 ÁREA DE UM TRIÂNGULO ............................................................................................................................... 65 
4.17 PRODUTO MISTO ........................................................................................................................................... 66 
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Capítulo 01 
 Matrizes 
 
1.0 Introdução 
 A teoria das matrizes é muito presente em aplicações da Economia, Engenharia, 
Matemática, Física, Tecnologia etc. 
 Os chineses apresentam como um dos mais antigos povos a mencionar a teoria das matrizes. 
Eles gostavam de diagramas conhecidos como quadrados mágicos, como o exemplo a seguir. 
 
4 9 2
3 5 7
8 1 6
 
 
1.1 Matriz 
 Podemos definir matrizes com sendo uma tabela de números dispostos em linhas e colunas, 
colocados entre parênteses ou colchetes: 
 
2 2
2 3
1 4 x
    
3 2
4 0
2
1 1
x

     
 
 
Tabelas com m linhas e n colunas são denominadas matrizes m x n sendo * e m n 
 
 
 
 
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1.2 Notação e Formação de uma Matriz 
 
 As matrizes costumam ser representadas por letras maiúsculas e seus elementos por letras 
minúsculas, acompanhadas de dois índices que indicam a linhas e a coluna, respectivamente, de 
cada elemento. Um formato geral para matiz m x n é: 
 
11 1
1
A
n
m mn
a a
a a
      

  

 
Abreviando a matriz A teríamos: 
 [ ]ij m x nA a Onde i e j representam, 
respectivamente, a linha e a coluna que o 
elemento ocupa. 
 
 Vejamos um exemplo de uma matriz 2 x 3. isso indica que a matriz possui duas linhas e três 
colunas. 
 
2 3
2 3 4
A
1 0 5 x
     
 Onde: 
 11 12 13
21 22 23
2 3 4
1 0 5
a a a
a a a
   
   
 
 As matrizes podem obedecer a uma lei de formação. Veja os exemplos a seguir. 
 
Exemplo 
 
E 01) Determinar a matriz 2 3[ ] 2 .ij xA a i j   
Solução: 
11 12 13
21 22 23 2 3
A
x
a a a
a a a
    
= 11 12 13
21 22 23 2 3
2.1 1 3 2.1 2 4 2.1 3 5
2.2 1 5 2.2 2 6 2.2 3 7
x
a a a
a a a
                   
 
 
2 3
3 4 5
A
5 6 7 x
     
 
 
 
 
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1.3 Matrizes Especiais 
1.3.1 Matriz Linha 
 É toda matriz do tipo 1 x n , ou seja, uma única linha. Exemplo. 
 
1 4A [4 5 1] x  
 
1.3.2 Matriz Coluna 
 É toda matriz do tipo m x 1, ou seja, com uma única coluna. Exemplo. 
 
4 1
3
0
1
2 x
B
       
 
 
1.3.3 Matriz Quadrada 
 É toda matriz do tipo m x m, ou seja, o mesmo número de linhas e colunas. Com isso 
dizemos que a matriz possui ordem n onde n é seu número de linhas e colunas. 
Exemplo: 
 
2 2
1 2
4 1 x
C
     Ordem 2 
3 3
4 0 1
0 0 4
1 2 4
x
D
      
ordem 3 
 
1.3.3.1 Diagonais de uma Matriz Quadrada 
 
o Diagonal principal: é o conjunto de elementos, tal que i = j. 
o Diagonal Secundária: é o conjunto de elementos, tal que i + j = n + 1. 
12
21 23
13
31 32
11
22
33
A
a
a
a
a a
a
aa
a
      
 
Diagonal principal 
Elementos 11a , 22a e 33a . 
Diagonal Secundária 
Elementos 31a , 22a e 
13a . 
 
 
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1.3.4 Matriz Nula 
 
 É toda matriz em que seus elementos são nulos. [ ] 0ij mxn ijA a a   . 
Exemplo: 
3 3
0 0 0
A 0 0 0
0 0 0
x
      
 
1.3.5 Matriz Diagonal 
 
 É toda matriz quadrada onde todos os elementos que não estão na diagonal principal são 
nulos. 
Exemplos: 
 
2 2
1 0
0 1 x
A      
3 3
4 0 0
0 1 0
0 0 3
x
B
      
 
 
1.3.6 Matriz Identidade 
 
 É toda matriz quadrada onde os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os demais 
iguais a 0. 
1, 
[ ], 
0, n ij ij
se i j
I a a
se i j
    
Exemplos: 
 
2
1 0
0 1
I      3
1 0 0
0 1 0
0 0 1
I
      
 
 
 
 
 
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8
1.3.7 Matriz Transposta 
 Chamamos de matriz transposta a matriz obtida a partir de uma matriz A, trocando-se 
ordenadamente suas linhas por colunas ou colunas por linhas. Notação TA . 
Exemplo: 
Se 
1 2 3
A
4 5 6
     então 
T
1 4
A 2 5
3 6
      
 
1.3.8 Matriz Simétrica e Anti-Simétrica 
 
 Uma matriz quadrada é simétrica quando tem-se TA = A . 
 Uma matriz quadrada é anti-simétrica quanto tem-se TA A  . 
 
1.3.9 Matriz Oposta 
 Chamamos de matriz oposta de A, a matriz obtida a partir de A, trocando-se o sinal de todos 
os seus elementos. Notação: – A. 
Exemplo: 
 
3 1
A
2 2
     Então 
T 3 1A
2 2
     
 
 
Exercícios 
 
01.) Determinar a matriz 3 3[ ]ij xB b , tal que 2 2
1, se 
, se ij
i j
b
i j i j
    
02.) Determine as seguintes matrizes: 
a. 22 2( ) ( )ij xA a i j   
b. 33 3( ) ( )ij xB b i j   
c. 2 3
2, 
( )
, ij x
se i j
C c
i j se i j
     
03.) Dada a matriz 3 3( )ij xA a , tal que 2 2 5ija i j   , calcule 12 31a a . 
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Respostas 
 
01.) 
1 3 8
3 1 5
8 5 1
B
       
 02.) a. 
4 9
9 16
A      b. 
0 1 8
1 0 1
8 1 0
B
       
 c. 
2 3 4
3 2 5
C      
03.) 6 
 
1.4 Operações com Matrizes 
1.4.1 Igualdade de Matrizes 
 
Duas matrizes A e B do mesmo tipo m x n, são iguais, se, e somente se, todos os elementos 
que ocupam a mesma posição são idênticos. Notação A = B. 
 
Exemplos 
 
E 02) Dadas as matrizes 
1 2
3
A
a
     e 
3
3
x
B
b
     , determinar a, b e x para que 
TA B . 
Solução: 
1 2
3 3 3
T x bA B
a
            Então x = 1, b = 2 e a = 3. 
 
 
E 03) Para que ocorra a igualdade das matrizes 
2 0 11 1
2 02 1
m
m
          
 qual deve ser o valor de 
m? 
Solução: 
 
21 0 1 1
1 0 1
m m ou m
m m
          
 Como devem ser satisfeitas simultaneamente então m = 1. 
 
 
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1.4.2 Adição e Subtração 
 Dada duas matrizes ( )ij mxnA a e ( )ij mxnB b , a matriz soma A + B é a matriz ( )ij mxnC c , 
tal que ij ij ijc a b  . 
Exemplo: 
1 2 0 3 1 0 2 3 1 5
3 4 1 5 3 1 4 ( 5) 2 1
                                
 Dada duas matrizes ( )ij mxnA a e ( )ij mxnB b , definimos a diferença A B como a soma de 
A com a oposta de B, ou seja, ( )A B A B    . 
 
Exemplos 
 
E 04) Determine a matriz X na equação matricial 
2 1 1 1/ 2 2 3/ 2
3 4 3 5 4 3
X
                     . 
Solução: 
Fazendo 
a b
X
c d
     temos que 
2 1 1 1/ 2 2 3/ 2
3 4 3 5 4 3
a b
c d
                           
2 1 1 2
3 4 1 2
a b
c d
                
2 1 1 2 1 1
3 1 4 2 4 2
a b a b
c d c d
                        
1 1
4 2
X       
 
E 05) Determine a matriz X na equação matricial 
2 3 5 1
1 1 4 3
4 2 3 2
X
                  
. 
Solução: 
Fazendo X = 
3 2x
a b
c d
e f
     
 temos que 
2 3 5 1
1 1 4 3
4 2 3 2
a b
c d
e f
                            
 
 
2 3 5 1 2 5 3 1 3 4
1 1 4 3 1 4 1 3 5 4
4 2 3 2 4 3 2 2 1 4
a b a b
c d c d
e f e f
                                                                
 
3 4
5 4
1 4
X
       
 
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11
1.4.3 Produto de uma Matriz por um Escalar 
 Seja a matriz ( )ij mxnA a e um número real k com 0k  . O produto de k pela matriz A é 
dado por uma matriz B, tal que, B = k.A onde .ij ijb k a . 
Exemplo: 
0 2 1 3.0 3.2 3.1 0 6 3
3. 2 3 5 3.( 2) 3.3 3.( 5) 6 9 15
0 1 4 3.0 3.1 3.4 03 12
                                
 
 
Exercícios 
 
01.) Determine a, b, c e d para que se tenha 
5 51
6
2 10 3
a b
c d
               
. 
02.) Determine x, y e z que satisfaçam 
31 2 1 2
4
3 5 1 6 5 0
x
y z
           
. 
03.) Determine p e q, tais que 
2 6 2
0 2 0 3
p q
p q
            . 
04.) Verifique se existe m, m , para que se tenha 
2 2 02 9
0 03 3
m
m m
          
. 
05.) Determine m, m , se existir, tal que 
2 0 14 1
32 3
m
m
         
. 
06.) Seja 2 3( )ij xA a , em que ija i j  . Determine m, n e p em 3 41 2 5
m n
B
n m p
      tal 
que A = B. 
07.) Calcule: 
a. 
1 0 3 4 2 1/ 2
2 3 1 1 1 0
             
b. 
2 3 5 4
0 13 0
        
 
c. 
3 5 1 2
2 7 3 5
4 0 1 1
                
 
d. 
1 0
3 2
5 4
                
 
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12
08.) Sejam as matrizes 3 2( )ij xA a , em que 2i ja i j  , e 3 2( )ij xB b , em que 1 .ijb i j   
a. Determine A + B. 
b. Determine D = A – B. 
 
09.) Sejam 
2 1
4 3
A
     , 
3 1
2 2
B
     e 
1 3
1 0
C
     . Determine A + B + C. 
10.) Resolva as seguintes equações matriciais: 
a. 
3 11
1 3
5 2
X
                 
 b. 
2 3 4 1
4 1 0 3
X
           
11.) Determine a matriz X em 
2 4 1 3 1 2
3 5 5 0 3 4
X
                   . 
12.) Sejam as matrizes 7 9( )ij xA a , em que 2ija i j  , e 7 9( )ij xB b , em que ijb i j  . Seja 
C A B  , em que ij ij ijc a b  . Determine os elementos: 
a. 21c b. 63c 
13.) Dada a matriz 
1 11 3
8 5 2
A
     , obtenha as matrizes: 
a. 3.A 
b. 1
2
A 
14.) Sejam as matrizes 
3 2
1 5
4 3
A
      
 e 
0 1
3 2
1 5
B
      
. Determine as seguintes matrizes: 
a. 2A B b. 2A B
 
15.) Sejam as matrizes 
2 1 0
1 2 2
0 5 4
A
      
 e 3 3( )ij xB b , em que ijb i j  . Determine a matriz 
1 A 4
2
B . 
16.) Resolva a equação 
1 2 3 1 1 0
2.X
3 2 4 1 2 5
             . 
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17.) Dadas as matrizes 
2 0 3 1 0 2
, 
1 1 0 1 1 0
A B e C
                   , determine a matriz X, tal 
que 2 2A B X C   . 
18.) Sendo 
1 2
3 4
A      e 
0 1
4 3
2 5
B
      
, determine: 
a. 2 TA A b. TB 
 
Respostas 
 
01.) 11, , 6, 10
6
a b c d      
02.) 3 , 2, 1
4
x y z    
03.) 3, 3p q  
04.) não existe m real que satisfaça. 
05.) 2m   
06.) 2, 4, 3m n p     
07.) a. 
55 2
2
3 4 1
      
 b. 
7 7
3 1
   
 
 c. 
2 7
5 2
5 1
     
 d. 
1
5
9
     
 
08.) a. 
6 9
8 11
10 13
     
 b. 
0 1
0 1
0 1
     
 
09.) 
6 5
1 5
    
10.) a. 
8
4
7
     
 b. 
6 2
4 4
    
11.) 
2 5
5 9
    
12.) a. 21 6c  b. 63 18c  
13.) a. 
3 33 9
24 15 6
    b. 
1 11 3
2 2 2
54 1
2
      
 
14.) a. 
6 3
1 8
9 1
      
 b. 
3 4
7 9
2 13
     
 
15.) 
71 8
2
7 1 3
2
138 2
2
          
 
16.) 
3 30
2 2
11 2
2
X
        
 
17.) 
7 5
4 1
    
18.) a. 
4 2
2 16
    b. 
0 4 2
1 3 5
    
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1.5 Multiplicação de Matrizes 
 
 Dadas duas matrizes ( )ij m x nA a e p( )ij n xB b , chama – se o produto AB a matriz 
 ( )ik m x pC c tal que: 
 1 1 2 2
1
...
n
ij ij i j i k i k in nk
j
c a b a b a b a b

         para todo  1, 2,...,i m e todo 
 1, 2,...,k p . 
 A definição garante a existência do produto AB se, e somente se, o número de colunas de A 
for igual ao número de linhas de B. 
 
 
 A B Cx x x
Colunas Linhas
pm pmn n

  
 Vejamos um exemplo prático: 
 Sejam as matrizes 
1 2 3
5 1 2
3 2 1
A
      
 e 
2 1
4 0
2 3
B
      
 façamos o produto AB conforme o 
esquema abaixo. 
2 1
4 0
2 3
1 2 3 1*2 2*4 3*2 1*( 1) 2*0 3*3 16 8
5 1 2 5*2 ( 1)*4 2*2 5*( 1) ( 1)*0 2*3 10 1
3 2 1 3*2 2*4 1*2 3*( 1) 2*0 1*3 16 0
     
                                         



 
 
Então o produto AB foi dado por 
16 8
10 1
16 0
AB
      
 
 
Obs.: Lembrar que o produto de matrizes, em geral, não é comutativo, ou seja, AB BA . 
 
 
 
 
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15
 
Exemplos 
 
 E 06) Encontre a matriz X em AX = B, sendo 
2 4
3 1
A
     e 
5
3
B      . 
 Solução: 
 Temos que 
2 2 2 1
2 4 5
.
3 1 3x x
X
          vemos que a Matriz X é do tipo 
a
X
b
     , daí 
2 2 2 1
2 4 5
.
3 1 3x x
a
b
                 
2 4 5
3 3
a b
a b
           , donde resulta o sistema 
2 4 5
3 3
a b
a b
     cuja a 
solução é 1
2
a   e 3
2
b   . Logo 
1
2
3
2
X
        
 
 
E 07) Sejam as matrizes 6 3( )ij xA a i j   , e 3 8( ) 2ik xB b j k   . Determine o elemento 
35c , sendo que C A B  . 
Solução: 
Vejamos aqui que não é necessário montar as duas matrizes por completo. Para adquirir o 
elemento 35c , basta usar a terceira linha de A e a coluna 5 de B. 
 
31 32 33A a a a
      
  
  
 = 4 5 6
     
  
  
 ; 
15
25
35
3
1
1
b
B b
b
                 
   
   
   
 
 
Assim 35 4 ( 3) 5 ( 1) 6 1 11c           
 
 35c =  11 
 
 
 
 
 
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16
1.6 Matriz Inversa (parte I) 
 Seja A uma matriz quadrada de ordem n. A é dita inversível se existir uma matriz B tal que: 
nA B B A I    
 E neste caso B é dita a inversa de A e denota-se por 1A . A Matriz inversa de A só irá existir 
se, e somente se, det( ) 0.A  (Determinante será estudado no próximo capitulo). 
 
 
Exemplos 
 
E 08) Encontre a inversa da matriz 
4 5
3 1
A
     . 
Solução: 
Devemos ter 
4 5 1 0
3 1 0 1
a b
c d
                  
4 5 4 5 1 0
3 3 0 1
a c b d
a c b d
            donde o sistema 
4 5 1 1 3 
3 0 19 19
a c
a e c
a c
       e também 
4 5 0 5 4 
3 1 19 19
b d
b e d
b d
       
 Assim 1
1 5
1 5119 19
3 4 3 419
19 19
A
               
 
 
E 09) Verifique se as matrizes 
2 0
4 3
A      e 
1 0
2
2 1
3 3
B
       
 são inversas, isto é, 1B A 
 Solução: 
 Vamosfazer o produto AB. 
1 2 11 2 0 2 0 002 0 1 02 3 32
2 14 3 1 2 1 0 14 3 4 0 3
3 3 2 3 3
                                     
 
Como 1nAB I B A
   
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17
 
Exercícios 
 
01.) Determine os produtos. 
a. 
2 1 1 4 3 2
4 3 0 1 1 3
            b. 
4 3 1 1
2 5 0 2
           
02.) Sejam as matrizes 
3 1
0 2
1 4
A
      
, 
0 1
1 3
B      e 
4
1
C      . Determine, caso existir: 
a. A.B 
b. B.A 
c. A.C 
d. BT.C 
e. B.AT 
03.) Sejam as matrizes 
4 1 5 3
0 2 0 1
4 3 2 5
1 3 0 8
A
       
 e 
10 6
5 3
2 4
1 8
B
       
. Se 4 2A B ( )ij xC c   , determine 
os elementos 12C e 41C . 
04.) Calcule x e y em 
2 4 1
3 5 3
x
y
                   . 
05.) Sejam as matrizes 6 3( )ij xA a , em que ija i j  , e 3 4( )ik xB b , em que 3 2ikb j k  . 
Sendo 6 4( )ik xC c a matriz produto AB, determine o elemento 52C . 
06.) Determine x e y a fim de que as matrizes 
2 0
3 4
    e 
3
1
x
y
    comutem. 
07.) Resolva a equação matricial 
2 3 0 3
1 4 1 5
X
           
08.) Um fast-food de sanduíches naturais vende dois tipos de sanduíche, A e B, utilizando os 
ingredientes (queijo, atum, salada, rosbife) nas seguintes quantidades, em gramas, por sanduíche: 
 Sanduíche A Sanduíche B
queijo 18 g 10 g 
salada 26 g 33 g 
rosbife 23 g 12 g 
atum 0 16 g 
 
 Durante um almoço foram vendidos 6 sanduíches do tipo A e 10 do tipo B. Qual foi a quantidade 
necessária de cada ingrediente para a preparação desses 16 sanduíches? 
 
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18
09.) Sendo 
1 2
3 4
A      e 
0 1
4 3
2 5
B
      
, resolva a equação T TA X B  . 
10.) Resolva a equação A X B C   , na qual 1 0
1 3
A
     , 
1
5
B      e 
0
3
C      . 
11.) Resolva a equação A B X C   , se 1 0 3
2 1 4
A
     , 
1 0
4 1
0 2
B
      
 e 
2 1
3 4
C
     . 
12.) O produto das matrizes 
2
3 1
x
A
     e 
1 1
0 1
B
     é uma matriz simétrica. Qual é o 
valor de x? 
13.) (Vunesp – Adaptado) Considere as matrizes reais 2 x 2 do tipo 
cos( ) ( )
( )
( ) cos( )
x sen x
A x
sen x x
     , 
calcule A(x).A(x). 
14.) Verifique se 
3 / 5 2 / 5
1/ 5 1/ 5
    é a inversa de 
1 2
1 3
    . 
15.) Determine, se existir, a inversa da matriz 
2 1/ 2
4 1
    . 
16.) Seja 
1 2
3 4
A
     . Determine 10
1A . 
17.) Sejam as matrizes 
3 2
1 1
A      e 
0 1
3 4
B      . Determine: 
a. 1A B  b. 1.A B
 
18.) A inversa de 
3
2
y
x
    é a matriz 
4
5 1
x x
x
    . Determine x e y. 
 
 
 
 
 
 
 
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19
Respostas 
 
01.) a. 
2 7 5 1
4 19 15 17
      
 b. 
4 10
2 8
    
02.) a. 
1 6
2 6
4 11
     
 
 b.  
 c. 
13
2
0
     
 
 d. 
1
7
    
 e. 
1 2 4
6 6 11
     
03.) a. 12 23C  
 b. 41 3C  
04.) 7
5
x  e 9
2
y  
05.) 48 
06.) 0x  e 3y  
07.) 
3 6
11 11
9 7
11 11
X
       
 
08.) 208 g de queijo, 486 g de salada, 258 g 
de rosbife e 160 g de atum. 
09.) 
3 5 7
10 2 10
1 1 9
10 2 10
X
       
 
10.) 
1
3
X      
11.) 
2 1
35 16
11 11
X
     
 
12.) x = 1 
13.) 
1 (2 )
(2 ) 1
sen x
sen x
    
14.) sim é inversa 
15.) 
1 1
4 8
11
2
      
 
16.) 
4 2
3 1
    
17.) a. 
1 1
4 7
    
 b. 
6 7
9 11
    
18.) x = 7 e y = 1 
 
 
 
 
 
 
 
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20
Capítulo 02 
 Determinantes 
 
2.0 Introdução 
 Definição: Determinante é um número real associado a uma matriz quadrada. 
As aplicações dos determinantes em matemática estão associadas a: 
- Cálculo da matriz inversa; 
- Resolução de alguns tipos de sistemas lineares; 
- Cálculo da área de um triângulo, quando são conhecidas as coordenadas dos vértices. 
 
2.1 Determinante de 1ª Ordem 
 Dada uma matriz quadrada de ordem 1ª Ordem 11[ ]M a , seu determinante é dado por: 
11det( )M a . 
 
2.2 Determinante de 2ª Ordem 
 Dada a matriz 11 12
21 22
M
a a
a a
    
,por definição, temos que o determinante associado a essa 
matriz é dado por: 11 22 12 21det(M) a a a a  . 
 Exemplo: 
 Sendo 
2 3
4 5
M      , então det( ) 2 5 4 3 2M       . 
 Conclusão: O determinante de uma matriz de ordem 2 é dado pela diferença entre o produto 
dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundária. 
 
 
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21
 
Exemplos 
 
E 10) Calcular o valor dos determinantes: 
a. 
1 1
2 3
3 8
A   1 18 3 4 1 3
2 3
      det( ) 3A  
b. 
( ) cos( )
cos( ) ( )
sen x x
B
x sen x
   
2 2( ) ( ) ( cos( ) cos( )) ( ) cos ( ) 1sen x sen x x x sen x x       
det( ) 1B  
E 11) Calcular o valor de x, x , na igualdade: 
a. 
3 3
0
4 3
x
x
  
23 ( 3) 4 3 3 3 12 0x x x x        donde tiramos que 4
1
x
x
   
 
2.3 Regra de Sarrus 
 
 Para determinantes de 3ª ordem usaremos um dispositivo prático conhecido como regra de 
Sarrus (lê-se “Sarrí”). 
 O dispositivo consiste em: 
1º. Repetir as duas primeiras colunas ao lado da terceira; 
2º. Multiplicamos os elementos da diagonal principal de A. Segundo a direção da diagonal 
principal, multiplicamos, separadamente, os elementos das outras duas “diagonais”. Conservando o 
sinal dos elementos; 
3º. Multiplicamos os elementos da diagonal secundária de A, trocando o sinal do produto obtido. 
Segundo a direção da diagonal secundária, multiplicamos, separadamente, os elementos das outras 
diagonais, também trocando o sinal dos produtos; 
4º. Somamos todos os produtos obtidos nos passos 2º e 3º. 
 
 
11 12 13 11 12
21 22 23 21 22
31 32 33 31 32
a a a a a
a a a a a
a a a a a
     
 
 
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Exemplo 
 
 E 12) Calcular o determinante da matriz 
2 3 5
1 1 2
3 4 3
     
. 
Solução: 
 
 
 
2 3 5 2 3
1 1 2 1 1
3 4 3 3 4
  det( ) 32 10 22A    
 
 
Exercícios 
 
01.) Calcule: 
a. 
2 5
3 8
 b. 
3 2
5 1
 
  c. 
4 3
2 1 
02.) Calcule o valor de 
11 7 4 5
3 2 2 3
y
   . 
03.) Resolva, em  , a equação 2
4 3
x x
x
  . 
04.) Resolva, em  , a equação 3 2.
1 1
x
x x
  
05.) Resolva, em  , a desigualdade 
3
2 33
1 2 5
3 1
x
xx
x

   . 
06.) Calcule o valor de cada um dos determinantes. 
a. 
3 7 2
4 1 1
2 2 3



 b. 
1 1 1
2 1 1
4 3 3



 
618 20 32
15 16 9 10 
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07.) Qual o valor de cada um dos seguintes determinantes: 
a. 
0 1 3
4 2 5
3 0 1

 
 b. 
2
1 1
1
1
a
a a
a a
  
08.) Sejam as matrizes 3 3( )ij xA a , em que 1, 2,ij
se i j
a
se i j
   , e 3 3( )ij xB b , em que 
1,
 
1,i j
se i j
b
se i j
    . Qual o valor de det (A) + det (B)? 
09.) Resolva, em  , a desigualdade 
6 1 5 1 2 1
0 1 0 4
1 3 2 0 0 6
x x
 

 
. 
10.) Sejam as matrizes 
1 2
1 0
A      , 
1
2
B      e  5 1C   Pede-se: 
a. Calcular BC + 2A e CB. 
b. Determinar  de maneira que det( ) 0A I  , em que I é a matriz identidade de 
ordem 2. 
11.) Resolva, em  , as seguintes equações: 
a. 
1 2
1 1 6
3 2
x
x x
x
   b. 
0 1
2 2 0
3 2
x
x x
x x
 
12.) Determine k para qual o determinante da matriz A é nulo. 
1 1 1
2 3
1 0
A k
k
      
. 
13.) Determine o valor de a para que a matriz 
5
1 1/ 2
a
A      tenha determinante nulo. 
14.) Na matriz do Exercício 12, faça k = 0 e resolva a equação matricial 
1
. 2
1/ 2
x
A y
z
               
. Dê o 
valor de x – y – z. 
15.) Resolva, em  , a equação 
4 2
3
1 1
2 1
1 1 3
x
x
x x
x

 

. 
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16.) Calcule o valor de x para que o determinante da matriz A seja nulo. 
1 2 1
4 9 4
6 7
A
x x
      
. 
 
 
Respostas 
 
 
 
01.) a. 1 b. -7 c. – 10 
02.) – 1 
03.) S = { 4 } 
04.) S = {1, 5} 
05.) 1|
3
S x x       
06.) a. 105 b. 0 
07.) a.  b. 3a a 
 
09.)  | 1S x x    
10.) a. 
7 3
8 2
    e ( 7 ) 
 b.  ou 2 
11.) a. {1}S  b. {0, 3, 3}S   
12.) 3
2
k  
13.) 10a  
14.) zero 
15.) {2}S  
16.) x = 13 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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2.4 Menor Complementar 
 Chamamos de menor complementar relativo ao elemento ija de uma matriz M quadrada e de 
ordem n > 1, o determinante de ordem n – 1, associado à matriz obtida de M quando suprimimos a 
linha e a coluna que passam por ija . 
 
Exemplos 
 
E 13) Dada a matriz 11 12
21 22
a a
M
a a
    
 determine o menor complementar ao elemento 21a . 
Solução: 11 12
21 22
a a
a a
   
 suprimindo a linha e coluna do elemento 21a obtemos então que o menor 
complementar de 21a é 12a 
E 14) Obter o menor complementar ao elemento 12a da seguinte matriz 
4 2
5 6
M
     . 
Solução: na matriz M o elemento 12a = 2, então 
4 2
5 6
    encontramos 5 como menor 
complementar ao elemento 12a . 
 
E 15) Encontrar o menor complementar ao elemento 22a na matriz 
2 0 1
3 1 2
1 1 2
M
      
. 
Solução: Suprimindo linha e coluna do elemento 22a , obtemos 
2 0 1
3 1 2
1 1 2
     
 a matriz 
2 1
1 2
    que 
tem como determinante o valor 3 e, portanto, o menor complementar do elemento 22a é igual a 3. 
 
 
 
 
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2.5 Cofator 
 Chamamos de cofator relativo ao elemento ija de uma matriz quadrada de ordem n o 
número ijA , tal que: 
( 1)i jij ijA MC
   
 
 
Exemplos 
 
E 16) Dada a matriz 
3 2
1 0
A
     determine os cofatores 11A e 21A . 
 Solução: 1 111 ( 1) 0 0A
    1 212 ( 1) 1 1A      
 
 E 17) Dada a matriz 
4 1 2
3 1 0
2 3 1
M
      
 determine o cofator 23A . 
 Solução: 2 323
4 1
( 1) 1 (4 3 2 1) 14
2 3
A            23 14A   
 
 
2.6 Teorema de Laplace 
 
O determinante de uma matriz quadrada de ordem n ( 2n  ) pode ser obtido pela soma dos 
produtos dos elementos de uma fila qualquer (linha ou coluna) da matriz M pelos respectivos 
cofatores. Assim, fixando um j , tal que 1 j m  : 
1
det
m
ij ij
i
M a A

  
 O teorema de Laplace se aplica a qualquer ordem de uma matriz quadrada, porém, para 
ordem 2 e 3 é mais interessante aplicar regras anteriormente vistas. Esse teorema é mais interessante 
ser aplicado quando a matriz possui um grande número de elementos iguais a zero em suas linhas 
ou colunas. 
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Exemplos 
 
E 18) Calcule o determinante da matriz 
3 1 2 1
5 2 2 3
7 4 5 0
1 1 11 2
D
       
. 
 Solução: Vamos escolher a 3ª linha da matriz D. e usando o teorema de Laplace então 
teremos: 
31 32 33 347 4 ( 5) 0D A A A A         Trocando pelos valores devidos temos: 
4
31
1 2 1
( 1) 2 2 3 9
1 11 2
A

  

, 532
3 2 1
( 1) 5 2 3 20
1 11 2
A

   e 633
3 1 1
( 1) 5 2 3 7
1 1 2
A   

 
não calculamos o 34A pois não há necessidade uma vez que ele está sendo multiplicado por zero. 
7 9 4 20 ( 5) 7 108D         
 
 E 19) Qual é o valor de 
1 0 10 0
3 2 1 1
5 0 3 2
9 0 4 7
D
   

. 
 Solução: Vamos escolher a segunda coluna, pois, ela apresenta um grande número de 
elementos com valor zero e isso facilita as contas. 
 
12 22 32 42 220 ( 2) 0 0 2D A A A A A            Assim basta calcular apenas esse último termo. 
2 2
22
1 10 0
( 1) 5 3 2 183
9 4 7
A       

, segue que ( 2) ( 183) 366D      
 
 
 
 
 
 
 
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28
 
Exercícios 
 
01.) Calcule os seguintes determinantes: 
a. 
3 4 2 1
5 0 1 2
0 0 4 0
1 0 3 3
 

 b.
2 3 1 7
0 1 2 0
3 4 5 1
1 0 2 1



 
 c. 
1 1 5 1
0 3 2 1
0 0 7 1
0 0 0 4

 
 
02.) Calcule os seguintes determinantes: 
a. 
0 5 3 4
11 1 2 7
0 0 0 0
4 3 2 1


 
 b. 
0 1
0 1 0 0
0
1 0
a b
a a b
b a
 c. 
1 0
0 1
0 0 0 2
1 1
x y
y x
x y

 

 
 
03.) Resolva, em  , a equação: 
0 0 3
1 0 0
3.
0 1 1
0 0 1 2
x
x
x
 
 
 
 
04.) Resolva, em  , a equação: 
2 0 1 2
1 2 1 3
79
0 0 1 1
3 1 2 0
x
  
 
. 
 
 
05.) Calcule 
2 2 3 4 2
0 1 0 0 0
.0 4 0 2 1
0 5 5 1 4
0 1 0 1 2



 
 
 
 
 
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29
Respostas 
 
01.) a. – 208 b. – 3 c. 84 
02.) a. 0 b. 2 2a b c. 22 (1 )x y  
03.) 10,
2
S      
04.)  5S  
05.) 50 
 
 
2.7 Propriedades dos Determinantes 
 Em alguns casos, o cálculo de determinantes pode ser simplificado como auxílio de algumas 
propriedades. 
 
2.7.1 Fila Nula 
 Quando todos os elementos de uma fila (linha ou coluna) são nulos, o determinante dessa 
matriz também é nulo. 
 Exemplos: a. 
3 0 2
1 0 5 0
2 0 7
 

 b. 
4 9 8 5
0 0 0 0 0
1 1 2 3
3 4 1 1

  
 
2.7.2 Filas Paralelas iguais 
 
Se duas filas paralelas de uma matriz são iguais, então seu determinante é nulo. 
 Exemplo: 
2 1 3 5
2 1
1 4 5 0
0
7
3 5
8 1 3
 

 
 
 
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30
2.7.3 Filas Paralelas Proporcionais 
Se duas filas paralelas de uma matriz são proporcionais, então seu determinante é nulo. 
 Exemplo: 
4 4 21 2
1
1 1
2 4 2 1 2 0
2 6 2
2
3 3 32

  

 
 
2.7.4 Filas Paralelas com Combinações Lineares 
 Se os elementos de uma fila de uma matriz são combinações lineares dos elementos 
correspondentes de filas paralelas, então o seu determinante é nulo. 
 Exemplos: 
 
a. 
1 3 4 1 3 41 3
2 42 4 6 2 4 6 0
3 2 5 3 2 53 2





 

 b. 
3 4 1 3 4 1
1 2 3 1 2
2 3 1
3 0
7 10 5 7 10 52 4 2 2 1 3     
 
  
 
 
2.7.5 Teorema de Jacobi 
 O determinante de uma matriz não se altera quando somamos aos elementos de uma fila 
uma combinação linear dos elementos correspondentes de filas paralelas. 
 Exemplo: 
1 2 3
2 1 2 9
2 4 3
  
1 2 2 2 3 5 2 3
2 1 2 1 2 4 1 2 9
2 4 2 4 3 10 4 3
 
   
 
 
 
2.7.6 Matriz Transposta 
 O determinante de uma matriz e o de sua transposta são iguais. 
 Exemplo: 
 
1 2 3
det( ) 2 1 2 9
2 4 3
A   
1 2 2
det( ) 2 1 4 9
3 2 3
TA   
 
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31
2.7.7 Produto de uma fila por um escalar 
 Multiplicando por um número real todos os elementos de uma fila em um matriz, o 
determinante dessa matriz fica multiplicado por esse número. 
 Exemplo: 
1 2 3
2 1 1 4
3 2 1
   Multiplicando a primeira coluna por 2 
2
2
2
1 2 3
2 1 1 2 ( 4) 8
3 2 1

      

 
2.7.8 Troca de filas paralelas 
 Quando trocamos as posições de duas filas paralelas, o determinante de uma matriz muda de 
sinal. 
 Exemplo: 
2 1 1 4
3 2
1 2 3
1
   Trocando-se a primeira linha com a segunda 1 2 3 4
3 2
2 1 1
1
 

 
 
2.7.9 Matriz Triangular 
 Quando, em uma matriz, os elementos acima ou abaixo da diagonal principal são todos 
nulos, o determinante é igual ao produto dos elementos dessa diagonal. 
 Exemplos: 
 a. 3 2
2
4
1
0 0
0 4 ( 1) 8
1 7
     

 b. 
1
3
4
2 2
7 1 30
0
4 12
0

    
 
2.8 Outras Propriedades 
2.8.1 Teorema de Binet 
 Sejam duas matrizes quadradas A e B de mesma ordem, temos: 
det( ) det( ) det( )AB A B  
 obs.: Como 1A A nI
  , pelo teorema acima, temos que: 
1 1det( )
det( )
A
A
  
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32
2.8.2 Produto de um escalar por toda a matriz 
 Quando todos os elementos de uma matriz é multiplicada por um escalar k o seu 
determinante fica multiplicado por nk , onde n é a ordem da matriz. 
Se k  , então det( ) det( )nk A k A   . 
Exemplo: 
2 1
4 5
A       det(A) = 6 
6 3
3
12 15
A       det(3A) = 54 
 det( ) det( )nk A k A    54 = 32. 6 
 
 
Exercícios 
 
01.) Se 1
2
x y
z w
 , qual é o valor de (diga qual a propriedade que usou): 
a. 
x z
y w
 b. 
2
2
x z
y w
 
 
02.) Se 3
a b c
d e f
g h i
  , qual é o valor de 
6 6 6
6 6 6
6 6 6
a d g
b e h
c f i
? 
03.) Sejam A e B matrizes quadradas de ordem 3, det( ) 5A  e det( ) 3B  . Qual é o valor de: 
a. det( )A B 
b. det( )T TB A 
c. det(2 )TA 
Respostas 
 
01.) a. 1
2
 ( det( ) det( )TA A ) b. 1 ( prop 2.7.7 e 2.7.6) 
02.) 36 ( 3) 648    
03.) a. 15 b. 15 c. 40 
 
 
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33
2.9 Regra de Chió 
 A regra de Chió nos permite passar de uma matriz de ordem n para outra de ordem n – 1, de 
igual determinante. Para que a regra seja aplicada, a matriz deve ter pelo menos um de seus 
elementos igual a 1 e de preferência na posição 11a . 
 
Exemplos 
 
E 20) Calcule, usando a regra de Chio, o determinante da seguinte matriz: 
 
5 2 2 1 2 3 3 2 0 1 5 3
5 1 3
1 ( 3) 2 2 ( 3) 3 5 ( 3) 0 7 11 5
1 2 5
6 ( 4) 2 7 3 ( 4) 2 0
2 3
( 4) 2 19 2
6 7 2
0
2
3
4
1
Chió
                   
         


 Aplicando a regra 
novamente, temos: 
11 7 ( 5) 5 7 ( 3) 46 26
11 5 386
19 2( 5) 2
5
2 ( 3) 29 8
31
12 2
7
9
            
 
 
E 21) Calcule, usando a regra de Chio, o determinante de: 
 
1 2
7 4
2
3
1
0 3
 Vamos trocar a segunda com a primeira linha e em seguida aplicarmos a Regra de Chio. 
7 3 2 4 3 ( 1) 1 7
( 19) 19
3 0 2 2 0 (
1 2
1)
3
2
7 4
3
0 2
1
3
                

 
E 22) Calcule, usando a regra de Chio, o determinante de: 
2 2 2 2
2 2 2 3
2 2 3 3
2 3 3 3
 Temos que dividir toda a primeira coluna por 2, daí: 
2 2 2
0 0 1
2 2 3
0 1 1 ( 1) 2
2 3 3
1 1 1
3 3
1
1
2 2
3
1
1
Chió       
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34
 
Exercícios 
 
01.) Calcule, usando a regra de Chió: 
a. 
1 2 3
1 4 7
0 3 2
 
b. 
1 0 0 0
5 4 3 2
1 3 2 0
0 1 0 1


 c. 
0 1 3 0
3 5 1 1
1 4 0 0
0 2 1 1

 
02.) Calcule, usando a regra de Chió: 
a. 
3 3 3
4 5 6
1 0 2
 
b. 
5 3 2 0
0 2 4 6
2 4 2 8
2 0 3 0

 
c. 
4 2 11
6 3 9
7 1 5
 
 
03.) Mostre que ( )( )( ).
a a a a
a b b b
a b a c b d c
a b c c
a b c d
    
 
04.) Resolva a equação 2
1 2 1
0 2.
3 7 4
x x  
 
 
Respostas 
 
01.) a. 18 b. 21 c. 55 
02.) a. 3 b. 460 c. 87 
03.) Demonstração 
04.) {2, 1}S   
 
 
 
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35
A1 – Apêndice Capítulo 02 - Matriz Inversa (parte II) 
 
 Com vimos anteriormente, a matriz M, de ordem n, admite inversa se, e somente se, 
det(M) 0 . Sua inversa é representada por 1M . 
 Para o cálculo da inversa usaremos o seguinte teorema. 
1 1M M
det(M)
   onde M é a matriz adjunta. 
Calculamos a inversa conforme a ordem: 
a. O determinante de M. 
b. A matriz M’, chamada matriz dos co-fatores, substituindo cada elemento de M pelo 
respectivo cofator. 
c. A matriz M , chamada matriz adjunta que é a transposta de M’. M (M ')T 
d. A inversa 1M , multiplicando M por 1
det( )M
. 
 
 
Exemplos 
 
E 23) Obter a matriz inversa de 
4 1
11 3
M      . 
 Resolução: Seguindo os passos corretos temos: 
a. O det (M) = 12 – 11 = 1 
b. M’ = 
1 1 1 2
2 1 2 2
( 1) 3 ( 1) 11
( 1) 1 ( 1
3 11
14 4)
 
 
               

 
c. 
13
(
1
')
1 4
TM M 
     

 
d. 1
3 1 3 11 1
11 4 11 4det( ) 1
M M
M
                 
1 3 1
11 4
M 
      
 
 
 
 
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36
E 24) Calcular a inversa da matriz 
1 2 1
0 3 2
0 0 1
     
. 
 Resolução: 
 a. det( ) 3M  
 b. 
1 1 1 2 1 3
2 1 2 2 2 3
3 1 3 2 3 3
3 2 0 2 0 3
( 1) ( 1) ( 1)
0 1 0 1 0 0
2 1 1 1 1 2
' ( 1) ( 1) ( 1)
0 1 0 1 0 0
2 1 1 1 1 2
( 1) ( 1) ( 1)
3 2 0 2 0 3
M
  
  
  
                          
 = 
3 0 0
2 1 0
1 2 3
     
 
 c. 
3 2 1
( ') 0 1 2
0 0 3
TM M
       
 
 d. 1
3 2 1 1 2 / 3 1/ 3
1 1 0 1 20 1/ 3 2 / 3
det( ) 3
0 0 3 0 0 1
M M
M

                      
 
 
 
Exercícios 
 
01.) A inversa da matriz 
4 3
1 1
    é? 
02.) Dada a matriz 
1 0
0 1
M
     , determinar o número real  tal que 
1M M M   . 
03.) (MACK) Seja 
a b
A
c d
     com ad bc , determine 
1A . 
04.) Sejam 
1 2
1 4
A      e 
2 1
B
x y
     duas matrizes. Se B é a inversa de A, então qual o valor 
de x + y. 
05.) Se 
2 1
A
x x
     , então o número de valores de x tais que 
1 3 0
0 3
A A       é: 
 
 
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Respostas 
 
01.) 
1 3
1 4
    
02.) 
03.) 1
d b
c aad bc
     
04.) 0 
05.) 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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38
Capítulo 03 
 Sistemas Lineares 
 
3.0 Equação Linear 
 É toda equação da forma: 
1 1 2 2 ... n na x a x a x b    onde a1, a2, a3, ..., an são números reais que recebem o nome de 
coeficientes das incógnitas X1, X2, ..., Xn e b é um número real chamado termo independente. 
Observação: Quando b = 0 a equação recebe o nome de linear homogênea. 
 
Exemplos: 
 
 São Lineares: 
 
1) 3 2 4 7
2) 3 7 0 (homogênea)
3) 3 8
x y z
x y z t
xy z t
  
   
  
 
 
3.1 Sistema Linear 
Um conjunto de equações lineares da forma: 
 
 
11 1 12 2 13 3 1 1
21 1 22 2 23 3 2 2
1 1 2 2 3 3
...
...
...
...
n n
n n
m m m mn n m
a x a x a x a x b
a x a x a x a x b
a x a x a x a x b
              
 
 
É um sistema linear de m equações e n incógnitas. 
 
3.2 Solução do sistema linear 
 
 Chamamos de solução do sistema a n-upla de números reais ordenados 1 2 3( , , ,..., )nr r r r que é, 
simultaneamente, solução de todas as equações do sistema. 
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39
3.3 Matrizes Associadas A Um Sistema Linear 
 
3.3.1 Matriz Incompleta 
 
 É a matriz A, formada pelos coeficientes das incógnitas do sistema. 
 
Exemplo: 
 
 Em relação ao sistema: 
 
2 3 0
4 7
2 4
x y z
x y z
x y z
        
 a matriz incompleta é: 
2 3 1
4 1 1
2 1 1
A
      
 
 
3.3.2 Matriz Completa 
 
É a matriz B, que obtemos ao acrescentarmos à matriz incompleta uma última coluna 
formada pelos termos independentes das equações do sistema. 
Exemplo: 
 
2 3 0
4 7
2 4
x y z
x y z
x y z
        
 a matriz completa é 
2 3 1
4 1 1
2 1 1
0
7
4
B
      
 
 
3.4 Sistemas Homogêneos 
 
 O sistema: 
 
11 1 12 2 13 3 1
21 1 22 2 23 3 2
1 1 2 2 3 3
... 0
... 0
...
... 0
n n
n n
m m m mn n
a x a x a x a x
a x a x a x a x
a x a x a x a x
              
 
 
É homogêneo, pois os termos independentes de todas as equações são nulos. 
 
2 3 0
4 0
2 0
x y z
x y z
x y z
        
 
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3.4.1 Soluções de um sistema homogêneo 
 
 
 A n-upla (0, 0, ..., 0) é sempre a solução de um sistema homogêneo com n incógnitas e 
recebe o nome de solução trivial. Quando existem, as demais soluções são chamadas não-triviais. 
 
3.4.2 Classificação de um sistema quanto ao número de soluções 
 
1) O sistema: 
8
2 1
x y
x y
    Tem uma única solução: o par ordenado (3,5). Nessas condições o sistema é possível 
(tem solução) e determinado (solução única). 
 
2) O sistema: 
8
2 2 16
x y
x y
    Verificamos que os pares ordenados (0, 8), (1,7), (2,6), (3,5), (4,4)... São 
algumas das soluções. Nessas condições, o sistema é possível e indeterminado (infinitas soluções). 
 
3) Dado o sistema: 
10
10
x y
x y
    Vemos que nenhum par ordenado faz parte da solução desse sistema. Nessas 
condições, o sistema é impossível (não tem solução). 
 
 
determinado
indeterminado
 
SPD
possível
sistema SPI
SIimpossível
  
 
 
3.5 Teorema de Cramer 
 
 Considere um sistema linear onde o número de equações é igual ao número de incógnitas. 
Teremos então uma matriz quadrada A e seja D = det(A). 
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41
Teorema. 
 Seja S um sistema linear com o número de equações igual ao de incógnitas. Se 0D  , então 
o sistema será possível e terá solução única 1 2 3( , , ,... )n    , tal que: 
i
i
D
D
  {1,2,3,..., }i n  
 
Exemplos 
 
E 25) Seja o sistema: 
6
4
2 1
x y z
x y z
x y z
         
 Temos 
1 1 1
1 1 1 4 0
2 1 1
D      

, logo há uma única 
solução. 
1
6 1 1
4 1 1 4
1 1 1
D      

 2
1 6 1
1 4 1 12
2 1 1
D      3
1 1 6
1 1 4 8
2 1 1
D     

 
logo: 1 4 1
4
Dx
D
   ; 
2 12 3
4
Dy
D
   
3 8 2
4
Dz
D
   
Portanto a solução única desse sistema (1, 3, 2) 
 
E 26) Em um sistema 2x2: 
 
8
2 1
x y
x y
    Temos 
1 1
3
2 1
D    
 
1
8 1
9
1 1
D    2
1 8
15
2 1
D    
1 9 3
3
Dx
D
   
2 15 5
3
Dy
D
   Temos a solução o par (3, 5) 
 
 
 
 
 
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42
 
Exercícios 
 
01.) Resolver os sistemas pela regra de Cramer. 
 
a. 
4 0
3 2 5
x y
x y
     b. 
2 2
3 3
x y
x y
     c. 
3 1
2 3 1
4 2 7
x y z
x z
x y z
        
 
 d. 
5
2 4 4
3 2 3
x y z
x y z
x y z
          
 e. 
1
2 2
0
2 2 1
x y z t
x y z
x y z t
x z t
              
 f. 
1
2 2
2 1
3 2 0
x y z t
x y z
x y z t
x y z t
                
 
 
02.) (MAPOFEI) Resolver, aplicando a regra de Cramer, o seguinte sistema: 
 
1
2 3 3 2
1
x y
x y z
x z
      
 
03.) Se (x,y) é a solução de 
2 5
4 2
x y
x y
    então o valor de x + y vale? 
 
04.) Sabendo que a + b = 1200, b + c = 1100 e a + c = 1500, então a + b + c vale? 
05.) No sistema 
2 3 1
3 3 8
2 0
x y z
x y z
y z
       
 o valor de z – xy é: 
Respostas 
 
01.) 
a. 12,
2
    b. 
3 4,
5 5
    c.  1,1, 1 d.  2,3,0 e. 
1 114, , , 2
2 2
    f.  0,0, 2, 1 
02.) (1,2,2) 
 
03.) 3 
 
04.) 1900 
05.) 3 
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43
3.5 Discussão de um Sistema Linear 
 Vimos que um sistema pode ser classificado da seguinte forma: 
 
determinado
indeterminado
 
SPD
possível
sistema SPI
SIimpossível
  
 
 
Exemplos 
 
E 27) Considere o sistema: 
 
 
2 9
2 3
3 2 4
x y z
x y z
x y z
         
 Escalonando o sistema chegamos à 
2 9
5
2 4
x y z
y z
z
     
 
 
O sistema agora na forma escalonadae com o número de equações igual ao número de 
incógnitas segue-se que é possível e determinado (SPD). (1,3,2) 
 
E 28) Considere o sistema 
 
3 1
3 3 2 0
2 2 4
x y z t
x y z t
x y z t
           
 Escalonando o sistema chegamos à 
3 1
10 3
7 4 2
x y z t
z t
y z t
         
 
 O sistema agora na forma escalonada e com o número de equações menor que o de 
incógnitas, segue-se que é possível e indeterminado. (SPI) 
 
E 29) Considere o sistema 
 
4
3 2 0
5 5 4
x y z
x y z
x y z
         
 Escalonando o sistema chegamos à 
4
5 2 12
10 4 24
x y z
y z
y z
        
 
Esse novo sistema é equivalente a 
4
5 2 12
0 0 0
x y z
y z
y z
       
, pois a terceira linha é proporcional à segunda. 
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44
 O sistema então fica com o número de equações menor que o de incógnitas, segue-se que é 
possível e indeterminado. (SPI) 
 
E 30) Considere o sistema 
 
4 8
3 15
10 12 7
x y
x y
x y
      
 Escalonando o sistema chegamos à 
4 8
13 39
0 69
x y
y
y
      
 
 O sistema então não haverá solução, pois, nenhum valor para y satisfaz a terceira equação. O 
sistema é impossível (SI). 
 
 
Exercícios 
 
01.) Escalonar, classificar e resolver os sistemas: 
 
a. 
2 1
2
2 2
x y z
x y z
x y z
          
 b. 
2 1
2 3 2
2 2 0
x y z
x y t
x y z t
          
 c. 
3 2 2
3 5 4 4
5 3 4 10
x y z
x y z
x y z
         
 
 
d. 
1
3 2 2
2 3 2 1
x y z t
x y z t
x y z t
            
 e. 
1
1
2 2
2 1
x y z t
x y z t
y z t
x z t
               
 f. 
2 3 5
2 5 2 3
3 2
x y z
x y z
x y z
         
 
 
Respostas 
 
01.) a. SPD (-11, -6, -3) b. SPI c. SI d. SPI e. SPD (-1/5, 1, -1/5, 2/5) f. SI 
 
 
 
 
 
 
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45
Capítulo 04 
 Vetores 
 
4.0 Vetores 
 
 Vetores são representados geometricamente como segmentos de reta orientados ou como 
flechas nos espaços bi e tridimensionais. Se o ponto inicial de um vetor v é A e o ponto final é B, 
então escrevemos: 
v AB  
 
 
4.0.1 Soma de Vetores 
 
Regra do paralelogramo 
 Sejam v e w dois vetores quaisquer. A soma v + w é representado na figura a seguir. 
 
 
 
 
 
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46
4.0.2 Vetor Oposto 
 
 Se v é um vetor não nulo então chamamos de oposto de v o vetor –v. Esse vetor tem a 
propriedade. 
( ) 0v v   
 
 
 
4.0.3 Produto Por Um Escalar 
 
 Dado um vetor 0v  e um número real 0k  , chama-se produto do número real k pelo vetor 
v o vetor p = kv, tal que: 
a) Módulo: p kv k v  
b) Direção: a mesma de v 
c) Sentido: 
o mesmo de v se k > 0
contrário de v se k < 0
 
 
 
 
 
 
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47
4.1 Vetores Em Sistemas De Coordenadas 
 
 4.1.1 Vetores no 2 
 O conjunto 2 {( , ) | , }x y x y       é interpretado geometricamente como sendo o 
plano cartesiano xOy. Seja v qualquer vetor no plano e suponha que v tenha sido posicionado na 
origem de um sistema de coordenadas cartesianas. As coordenadas 1 2( , )v v do ponto final de v são 
chamadas componentes de v e escrevemos como 1 2( , )v v v . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4.1.1.1 Igualdade e Operações 
 
 IGUALDADE: 
 
Dois vetores 1 1( , )u x y e 2 2( , )v x y são iguais se, e somente se 1 2x x e 1 2y y e 
escreve-se u = v. 
 
 
Exemplo 
 
 
E 31) Se o vetor u = (x + 1,4) é igual ao vetor v = (5, 2y 6) quais os valores de x e y? 
 
Pela definição de igualdade temos x + 1 = 5  x = 4 e 2y – 6 = 4  y = 5. 
 
 
 
 
 
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48
 ADIÇÃO EM TERMOS DE COMPONENTES: 
 
Considere dois vetores 1 1( , )u x y e 2 2( , )v x y a soma desses vetores é dada por: 
 
1 2 1 2( , )u v x x y y    
 
 
Exemplo 
 
 
E 32) Seja u = (2, 3) e v = ( -5, 1) vetores em 2 . Calcule a soma u + v. 
 
(2 5,3 1) ( 3,4)u v       ( 3,4)u v   
 
 
 MULTIPLICAÇÃO POR UM ESCALAR: 
 
Seja v um vetor ( , )v x y e k um escalar representamos o vetor kv por: 
 
( , ) ( , )kv k x y kx ky  
 
Exemplos 
 
 
E 33) Seja u = (2, 3) e k = 3 o vetor ku será representado por 3.(2,3) = (6,9) 
 
 
E 34) Considere v = ( -1, 4) e k = 5 o vetor kv será representado por: 
 
– 5. (-1,4) = (5, - 20). 
 
E 35) Seja 2
7
k  e v = ( -1,-1) calcule o vetor .k v . 
2 2 2( 1, 1) ,
7 7 7
        
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49
4.1.2 Vetores no 3 
 
O conjunto 3 {( , , ) | , , }x y z x y z         é interpretado geometricamente como 
sendo o espaço cartesiano tridimensional Oxyz. 
Da mesma forma que fazemos para o plano, consideramos geralmente vetores representados 
por segmentos orientados com a origem na origem do sistema. Nessas condições, cada vetor do 
espaço é determinado pelo ponto extremo do segmento. Assim, o ponto P(x,y,z) individualiza o 
vetor v OP  e escreve-se: 
V = (x, y, z) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A origem do sistema O(0,0,0) representa o vetor nulo. 
 O vetor oposto de v = (x,y,z) é o vetor –v = (-x,-y,-z). 
 Assim também temos que: 
 
I) Dois vetores 1 2 3 1 2 3( , , ) e ( , , )u u u u v v v v  são iguais se, e somente se 
1 1 2 2 3 3 u v e u v e u v   . 
 
II) Dados os vetores 1 2 3 1 2 3( , , ) e ( , , )u u u u v v v v  e   , define-se: 
i. 1 1 2 2 3 3( , , )u v u v u v u v     
ii. 1 2 3( , , )u u u u    
 
 
 
 
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50
 
Exemplos 
 
 
E 36) Calcule a soma v + u, sendo u = (3,0,2) e v = (-2, -9, 8). 
 Resolução: 
u + v = (3+(-2), 0 + (-9), 2 + 8) = ( 1, -9, 10) (1, 9,10)u v    
 
E 37) Seja 2  e dado o vetor (1, 6,5)v   Calcule v. 
 Resolução: 
v = 2. (1, 6,5) = (2.1,2.(-6),2.5) = (2, -12, 10) v (2, 12,10)   
 
E 38) Seja 2
7
k  e v = ( -1,-1, -1) calcule o vetor .k v . 
 Resolução: 
.k v =  2 1, 1, 1
7
     2 2 2, ,
7 7 7
      
 
4.2 Componentes de um Vetor 
 
 Às vezes um vetor ( 2 ou 3 ) não está posicionado com seu ponto inicial na origem. Se o 
vetor 1 2v PP

 : 
 Em 2 como ponto inicial 1 1 1( , )P x y e ponto final em 2 2 2( , )P x y , então: 
 
1 2 2 1 2 1( , )v PP x x y y   

 
 
 Em 3 como ponto inicial 1 1 1 1( , , )P x y z e ponto final em 2 2 2 2( , , )P x y z , então: 
 
1 2 2 1 2 1 2 1( , , )v PP x x y y z z    

 
 
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Exercícios 
 
01.) Considere os seguintes vetores u = (9,3), w = (-1, 3, 4), v = (2,-5), p = (3,-2,-1), q = (2,0), 
 t = (3,4) e m = (3,0,-2). 
Calcule: 
a. v + u 
b. w – p 
c. 4.t + 3.q 
d. u – t 
e. 3.(q+u)– 2(v + t) 
f. m + p 
 
02.) Em um sistema cartesiano de coordenadas esboce os vetores 2 do exercício 1. 
03.) Em um sistema cartesiano de coordenadas esboce os vetores 3 do exercício 1. 
04.) Encontre os componentes do vetor de ponto inicial 1u e ponto final 2u . 
a. 1 2(4,8), (3,7)u u 
b. 1 2(3, 5), ( 4, 7)u u   
c. 1 2(0,0), ( 3,1)u u  
d. 1 2(4,8, 2), (3,7, 1)u u  
e. 1 2(3, 7, 2), ( 2,5, 1)u u   
 
 
Respostas 
 
 
01.) a. (11, -2), b. (-4, 5,5), c. (18,16), d. (6,-1), e. (23,11), f. (6,-2,-3) 
02.) desenho individual 
03.) desenho individual 
04.) a. ), b.  c. ), d. ) e.  
 
 
 
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 52
4.3 Norma de um Vetor 
 
 O comprimento de um vetor u é muitas vezes chamado de norma de u e é denotado por u . 
4.3.1 Em 2 
 
 
 
A norma do vetor u pode ser 
calculada aplicando o teorema de 
Pitágoras. 
 
2 2
1 2( ) ( )u u u  
 
4.3.2 Em 
3 
 
 
A norma do vetor u pode ser 
aplicada usando o teorema de 
Pitágoras duas vezes chegando 
ao resultado final como: 
 
2 2 2u x y z   
 
 
 
Elementos para Álgebra Linear 
 
 53
 
Exemplo 
 
E 39) Calcule a norma dos vetores nos seguintes casos: 
a. v = ( 2, -3 )  2 22 ( 3) 4 9 13v       
b. v = (-3, 5, 2)  2 2 2( 3) 5 2 9 25 4 38v         
 
4.4 Distância 
 
 Como, em 2 , 1 2 2 1 2 1( , )v P P x x y y   

o cálculo da distância será dado por: 
 
2 2
2 1 2 1( ) ( )d x x y y    
 
Em 3 , 1 2 2 1 2 1 2 1( , , )v P P x x y y z z    

 o cálculo da distância será dado por: 
2 2 2
2 1 2 1 2 1( ) ( ) ( )d x x y y z z      
 
 
Exemplo 
 
E 40) Calcule a distância d entre os pontos: 1 (2, 1, 5)P    e 2 (4, 3,1)P   
2 2 2(4 2) ( 3 1) (1 5) 44 2 11d          
 
4.5 Aritmética Vetorial 
 O seguinte teorema aborda as mais importantes propriedades de vetores nos espaços bi e 
tridimensionais. 
TEOREMA: Se u, v e w são vetores de um espaço bi ou tridimensional e k e l são escalares, então 
valem as seguintes relações. 
 
a. u + v = v + u 
b. (u + v) + w = u + (v+w) 
c. u + 0 = 0 + u 
d. u + (-u) = 0 
e. k(lu) = (kl)u 
f. l(u+v) = lu + lv 
g. (k + l)v = kv + lv 
h. 1.u = u 
Elementos para Álgebra Linear 
 
 54
 
Exercícios 
 
01.) Encontre a norma de v 
a. v = (4, -3) 
b. v = (2,3) 
c. v = (-5, 0) 
d. v = (2,2,2) 
e. v = (-7,2,-1) 
f. v = (0,6,0) 
 
02.) Encontre a distância entre 1P e 2P . 
a. 1 2(3, 4), (5,7)P P 
b. 1 2( 3,6), ( 1, 4)P P   
c. 1 2(7, 5,1), ( 7, 2, 1)P P    
d. 1 2(3,3,3), (6,0,3)P P 
 
03.) Sejam u = ( 2, -2, 3), v = (1, -3, 4) e w = (3,6,-4). Calcule o pedido: 
a. u v 
b. u v 
c. 2 2u u  
d. 3 5u v w  
e. 1 .w
w
 
f. 1 .w
w
 
 
04.) Seja v = , 2,5). Encontre todos os escalares k tais que 4kv  
05.) Sejam u = (7,  1), v = (9,6,6), w = (2,1), k =  e l = 5. Verifique que estes vetores 
e escalares satisfazem as seguintes identidades do teorema da aritmética vetorial. 
a. Parte (b) 
b. Parte (e) 
c. Parte (f) 
d. Parte (g) 
 
06.) Mostre que se w é qualquer vetor não nulo, então 1 .w
w
 é um vetor unitário 
Obs.: Vetor unitário é todo vetor que possui norma igual a 1. 
 
 
 
 
 
Elementos para Álgebra Linear 
 
 55
Respostas 
 
01.) a. 5, b. 13 , c. 5, d. 2 3 , e. 3 6 , f. 6 
02.) a. 13 , b. 2 26 , c. 209 , d. 3 2 
03.) a. 83 , b. 17 26 , c. 4 17 , d. 466 , e. 3 6 4, ,
61 61 61
    , f. 1 
04.) 4 2 30
1530
k     
05.) e 06.) demonstração 
 
4.6 Produto Escalar 
 
 Sejam u e v dois vetores não nulos nos espaços bi e tridimensionais e suponha esses 
vetores posicionados de tal modo que seus pontos iniciais coincidam. Esses vetores formam 
um ângulo  entre si tal que 0    . 
 
 
 DEFINIÇÃO: Se u e v são vetores em 2 3 ou  e  o ângulo entre eles, então o 
produto escalar ou produto interno será definido por: 
 
 cos 0 0
0 0 0
u v se u e v
u v
se u ou v
       
 
 
 
 
 
Elementos para Álgebra Linear 
 
 56
 
Exemplo 
 
 
E 41) Sejam os vetores u = (0,0,1) e w = (0,2,2) calcule o produto interno deles sendo 
considerado 045 o ângulo entre eles. 
  2 2 2 2 2 2 00 0 1 0 2 2 .cos(45 )v w      2u w   
 
4.7 Produto Escalar em Termos de Componentes 
 
 Sejam 1 2 3 1 2 3( , , ) e ( , , )u u u u v v v v  dois vetores não nulos e  o ângulo entre eles. 
Obs.: O produto escalar pode ser denotado como u v ou também pela forma ,u v  
 
Pela lei dos co-senos temos que: 
2 2 2 cos( )PQ u v u v    
e como PQ v u  , podemos escrever 
que: 
2 2 21cos( ) ( )
2
u v u v v u     
 
 
Simplificando a expressão temos 2 2 21 ( )
2
u v u v v u     e substituindo os valores 
2 2 2 2
1 2 3u u u u   , 2 2 2 21 2 3v v v v   e 2 2 2 21 1 2 2 3 3( ) ( ) ( )v u v u v u v u       
chegamos a: 
 
1 1 2 2 3 3. . .u v u v u v u v    
de demonstração análoga para 2 temos o produto escalar dado por: 
1 1 2 2. .u v u v u v   
Elementos para Álgebra Linear 
 
 57
 
Exemplos 
 
E 42) Sejam u = (3), v = (2,2) e w = (9) calcule: 
a. <u,v> 
Resolução: 3.2 + -1.2 = 6 – 2 = 4 
b. <(u+v),w> 
Resolução < (5,1), (9)> = 5.9 + 1.-3 = 45 + ) = 42 
c. <v,w> 
Resolução 
 2.9 + 2) = 18 +  = 12 
 
E 43) Considere u = ,2,3) e v = (2,2,2). Calcule o produto escalar entre eles. 
 Resolução: 
<u,v> = .2 + 2.2 + 3.2 =  + 4 + 6 = 8 
 
E 44) Sejam v = (a,b) e w = (p,q) calcule o produto interno entre eles. 
 Resolução: 
<v,w> = a.p + b.q 
 
4.8 Ângulo Entre Vetores 
 
 Considere dois vetores u e v em 2 3 ou  ambos. Como podemos escrever o produto 
interno deles como sendo cos( )u v u v   então podemos isolar o cos( ) ficando com: 
cos( ) u v
u v
  
Obs. Para encontrar o ângulo devemos usar a função arccos ( a função 1cos de sua 
calculadora científica) 
 
 
 
 
Elementos para Álgebra Linear 
 
 58
 
Exemplo 
 
 
E 45) Considere os vetores u = (2, -1, 1) e v = (1, 1, 2). Determine o ângulo entre u e v. 
2.1 ( 1).1 1.2 1cos( )
26. 6
u v
u v
       e portanto 01arccos 60
2
     
 
 
TEOREMA: Sejam u e v vetores em 2 3 ou  : 
 a) 2v v v  
 b) se os vetores são não nulos e  o ângulo entre eles, então 
 
 
 
 , 0
 , 0
 , 0
é agudo se e somente se u v
é obtuso se e somente se u v
é reto se e somente se u v



 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 
 
 
E 46) Se u = (1,3), v = (3,4,2) e w = (3,6,3), Calcule: 
a. <u,v> 
Resolução: 1 ( 3) ( 2) 4 3 2 3 8 6 5             então  é obtuso 
b. <v,w> 
Resolução: 3 3 4 6 2 3 9 24 6 21           então  é agudo 
c. <u,w> 
Resolução: 1 3 ( 2) 6 3 3 3 12 9 0          então u e w são perpendiculares. 
 
 
 
 
 
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 59
4.9 Vetores Ortogonais 
 
 São vetores, não nulos, perpendiculares ente si, denotamos por u v . Sejam dois 
vetores u e v ( 2 3 ou  ) se 0u v  então dizemos que os vetores são perpendiculares. 
 
 
 
 
TEOREMA: Sejam u, v e w vetores em 2 3 ou  e l um escalar, então: 
 
)
) ( )
) ( ) ( ) ( )
) 0 0 0 0
a u v v u
b u v w u v u w
c l u v lu v u lv
d v v se v e v v se v
  
     
    
     
 
 
 
 
Exemplo 
 
E 47) Calcule o valor de k para que o produto escalar