Derivadas parciais

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2009−10 Ficha Prática 4 - Derivadas parciais AM2D
1. Calcule, caso existam, as derivadas parciais das seguintes funções no ponto A = (0, 0):
f(x, y) =

x3 − 1
2
y3
x2 + y2
, (x, y) 6= (0, 0)
0 , (x, y) = (0, 0)
; g(x, y) =

x2 + y3√
x2 + y2
, (x, y) 6= (0, 0)
0 , (x, y) = (0, 0)
.
2. Considere as funções definidas pelas seguintes expressões:
f1(x, y) = 2x
2 cos(x)y3 − 4y2e−xy2 ; f2(x, y, z) =
4x
zx2 + y2
; f3(x, y) = ye
− 1
x2+y2 .
Calcule
∂f1
∂x
;
∂f1
∂y
;
∂f2
∂z
;
∂f2
∂x
;
∂f3
∂y
;
∂2f1
∂x2
;
∂2f2
∂z∂x
;
∂2f2
∂x∂z
.
3. Considerando a equação de estado dos gases perfeitos, o volume V de 1 mole de gás é
dado, em função da pressão (p) e da temperatura (t), por
V (p, t) =
Rt
p
. (R é uma constante, dita constante de Avogadro)
a. Calcule os coeficientes termoelásticos χ (coeficiente de compressão a temperatura
constante) e α (coeficiente de dilatação a pressão constante) definidos por
χ(p, t) = − 1
V (p, t)
∂V
∂p
(p, t) e α(p, t) =
1
V (p, t)
∂V
∂t
(p, t).
b. Mostre que
∂χ
∂t
= −∂α
∂p
.
c. Mostre que a igualdade da aĺınea anterior é sempre válida, independentemente da
equação de estado que se esteja a considerar.
4. Uma função F de p variáveis (x1, x2, . . . , xp) diz-se harmónica se
∀X = (x1, x2, . . . , xp) ∈ DF ,
∂2F
∂x21
+
∂2F
∂x22
+ · · ·+ ∂
2F
∂x2p
= 0.
Verifique que as funções definidas pelas seguintes funções são harmónicas:
F (x, y) = ex sin(y); G(x, y) = log
(√
x2 + y2
)
; V (x, y, z) =
1
4π�o
q√
x2 + y2 + z2
.1
1O significado do potencial eléctrico V gerado por uma carga q colocada na origem ser uma função
harmónica em R3 \ {(0, 0, 0)} será discutido mais adiante neste curso.