Números Binomiais, Triângulo de Pascal e Binômio de Newton

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Análise Combinatória
Números Binomiais, Triângulo de Pascal e Binômio de Newton.
Material Teórico
Responsável pelo Conteúdo:
Prof. Ms. Dirceu Zaleski Filho
Revisão Técnica:
Profa. Ms. Adriana Domingues Freitas
Revisão Textual:
Profa. Esp.Vera Lídia de Sá Cicarone
5
• Introdução
• Números binomiais
• Propriedades dos números binomiais
 
 Atenção
Para um bom aproveitamento do curso, leia o material teórico atentamente antes de realizar as ativi-
dades. É importante também respeitar os prazos estabelecidos no cronograma.
 Atenção
 · A proposta desta aula é informá-lo a respeito dos conceitos de 
Números Binomiais, Triângulo de Pascal e Binômio de Newton. 
 · Ao findar esta aula, esperamos que você tenha entendido 
esses conceitos.
Números Binomiais, Triângulo de 
Pascal e Binômio de Newton.
• Triângulo de Pascal
• Binômio de Newton
6
Unidade: Números Binomiais, Triângulo de Pascal e Binômio de Newton.
Contextualização
Atividade
O desenvolvimento do binômio de Newton ajuda-nos a calcular potências como (1,003)15. O 
cálculo, como veremos nesta unidade, é feito da seguinte forma:
(1 + x)n ≅ 1+ nx para x pequeno
≅ significa aproximadamente.
Veja:
(1,003)15 = (1 + 0,003)15 = 1 + 15. 0,003 = 1 + 0,045 = 1,045
7
Introdução
Todos os conceitos que serão apresentados nesta unidade têm ligação com o desenvolvimento 
de binômios da forma (x + y)n com x, y ϵ R e n ϵ N. Veja alguns exemplos:
a) (x + y)2 = (x + y) . (x + y) = x2 + xy + yx + y2 = x2 + 2xy + y2 = 1x2y0 + 2x1y1 + 1x0y2
b) (x + y)3 = (x + y) . (x + y) . (x + y) = (x + y) (x2 + 2xy + y2) = x3 + 2x2y + xy2 + x2y + 2xy2 + y3 
= x3 + 3x2y + 3xy2 + y3 = 1x3y0 + 3x2y + 3xy2 + 1x0y3
Na busca de padrões para o desenvolvimento de coeficientes, potências de x e y e o 
desenvolvimento dos binômios é que será feito este estudo. 
Números binomiais
Considere n,k ϵ N sendo k ≤ n. Binomial de n sobre k é indicado por (
n
k
) e definido assim:
(
n
k ) = 
n!
(n-k)!k!
 » n: numerador
 » k: denominador
se n < k então ( n
k
) = 0
Veja:
( 7
5
)=
7!
(7-5)!5!
= 
7!
2!5!
 = 
7.6.5!
2.1.5!
 = 
42
2
 = 21
( 2
5
) = 0, pois 2 < 5
Observe que:
(
7
5
) = 
7!
(7-5)!5!
 = 
7.6.5.4.3.2!
2!5!
 = 
7.6.5.4.3. (são 5 fatores)
5.4.3.2.1 (sobre 5 fatorial)
Então escrevemos:
(
n
k
)= n. (n-1).(n-2) ... (n-k+1) (são k fatores)
k! (sobre k fatorial)
 para n ≥k
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Unidade: Números Binomiais, Triângulo de Pascal e Binômio de Newton.
Então:
(
n
k
) = 
8.7.6
3.2.1
= 56
Exemplos:
Calcule o valor dos binomiais (
5
4
), (
10
1
),(
2
9
). 
Resolução
 » ( 5
4
)= 5.4.3.2
4.3.2.1
 = 5
 » (
10
1
)= 10
1
 = 10 
 » ( 2
9
)= 0, pois 2 < 9
Respostas: 5, 10, 0.
2) Calcular a soma S = (
5
2
) + (
4
4
)+ (
2
5
)
Resolução
 » ( 5
2
)=
5!
3!2!
 = 
5.4.3!
3!2.1
 10
 » (
4
4
)= 
4.3.2.1
4.3.2.1
 = 1
 » ( 2
5
)= 0
Logo S = 10 + 1 + 0 = 11
Resposta: 11.
3) Resolva a equação:
(n+1
n
) = 3
Resolução:
(n+1
n
) = 3
Aplicando a definição de número binomial, temos:
(n+1)!
[(n+1-n)n!]
 = 3
efetuando-se as operações, temos: 
(n+1)!
[(n+1-n)n!]
 = 3
9
(n 1). !
3
!
n
n
+
=
n + 1 = 3
Portanto:
n = 2
Resposta: S = { 2 }
Atividades Práticas
1) Calcule o valor dos binomiais (
7
2
), (
7
7
), (
2
7
).
Resposta: 21, 1, 0.
2) Calcular de E = ( 8
3
) - ( 8
8
) x (
3
8
)
Resposta: 56.
3) Resolva a equação ( n+2
n+1
) = 4
Resposta: S = { 2 }
Propriedades dos números binomiais
Considere n, k ϵ N sendo k ≤ n.
(
n
k ) = (
n
n - k )
Binomiais complementares:
Veja:
( 5
3
) = (
5
2
) e perceba que 2 + 3 = 5
Desenvolvendo os binomiais, temos:
5.4.3
3.2.1
 = 
5.4.3!
2.1.3!
 =
5.4
2
 = 10
10
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Relação de Stiffel:
(
n
k ) = (
n
n - k ) + (
n + 1
k + 1 )
Veja:
(
5
2
) + (
5
3
) = (
6
3
)
Desenvolvendo os binomiais, temos:
(
5
2
)= 
5.4.3!
3!.2 = 10
( 5
3
)= 
5.4.3!
3!.2
 = 10
(
6
3
) = 
6.5.4.3!
3!.3!
 = 
6.5.4
3.2.1
 =20
Portanto:
( 5
2
) + (5.4
3.2
) = (
6
3
)
10 + 10 = 20
Relação de Fermat:
(
n
k+1) = 
n - k
k + 1 (
n
k )
Veja:
(
5
3
) = (
5
2+1
) = 
5 - 2
2+1
 (
5
2
) = 10
Exemplos:
1) Quais os valores de x na igualdade abaixo?
( 10
x
) = ( 10
7
)
Resolução:
a. os binomiais são iguais e, portanto, x = 7.
b. os binomiais são complementares e, portanto, x + 7 = 10 e logo x = 3.
Resposta: Os valores de x são 3 e 7. 
11
2) Indique a soma de ( 100
97
) + ( 100
98
) como um binomial.
Resolução:
Pela relação de Stiffel, temos que (
n
k
) + (
n
k+1
) = (
n+1
k+1
) onde n = 100 e k = 97, logo
(
100
97
) + (
100
98
) = ( 100
97
) + (
100
97+1
) = (
100+1
97+1
) = (
101
98
) 
Resposta: (
101
98
). 
3) Resolva a equação ( n
2
) + (
n
3
) = (
5
3
) 
Resolução:
Pela relação de Stiffel, podemos afirmar que:
( n
2
) + (
n
3
) = (
n+1
3
) 
Como consequência, temos que:
(n+1
3
) = ( 5
3
) e, portanto,
n + 1 = 5 e n = 4.
Resposta: S = { 4 }.
Atividades Práticas
1) Utilizando a propriedade “binomiais complementares”, determine o menor valor de n de 
modo que:
( 28
3n+2
) = (
28
8
)
Resposta: 2.
2) Resolva a equação:
(
8
4
) + (
8
5
) = (
9
x
) 
Resposta: S = {4,5}.
3) Qual o valor de n na igualdade abaixo?
 (
n
12
) + (
n
12
) = (
22
13
) 
Resposta: n = 21.
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Triângulo de Pascal
Os números binomiais podem ser dispostos numa tabela denominada Triângulo de Pascal 
(Blaise Pascal 1623 – 1662).
Linha 
· 0 ( 0
0
)
 · 1 ( 1
0
) ( 1
1
)
 · 2 ( 2
0
) ( 2
1
) ( 2
2
)
 · 3 ( 3
0
) ( 3
1
) ( 3
2
) ( 3
3
)
 · . . . . .
 · . . . . .
 · . . . . .
 · n ( n
0
) ( n
1
) ( n
2
) ( n
3
) ...... ( n
n
)
 · . . . . . ....... . .
 · . . . . . ....... . . .
Observe que:
a. binomiais de mesmo numerador são colocados na mesma linha;
b. binomiais de mesmo denominador são colocados na mesma coluna.
Substituindo cada binomial pelo seu valor, temos:
Linha
0 1
1 1 1
2 1 2 1
3 1 3 3 1
4 1 4 6 4 1
5 1 5 10 10 5 1
. . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
Não é necessário fazer o cálculo dos binomiais um a um; basta aplicar as propriedades que seguem:
1) Todos os elementos da 1ª coluna são iguais a 1. 
(
n
0
) = 1
2) o último elemento de cada linha é igual a 1.
(
n
n
) = 1
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3) Aplicando a relação de Stifel, obtém-se os demais elementos.
4) Binomiais equidistantes dos extremos em uma linha são iguais.
Temos, ainda, as propriedades:
1) Soma de linha
( n
0
)+( n
1
)+( n
2
)+( 3
3
)+...... + ( n
n
) = 2n
Veja:
( 4
0
)+( 4
1
)+( 4
2
)+( 4
3
)+ ( 4
4
) = 24 = 16
No triângulo de Pascal, temos:
 
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Unidade: Números Binomiais, Triângulo de Pascal e Binômio de Newton.
Soma de coluna
No triângulo de Pascal, temos:
Soma de Diagonal
Veja:
( 2
0
)+( 3
1
)+( 4
2
)+( 5
2
)
1 + 3 + 6 = 10
No triângulo de Pascal, temos:
 
15
Exemplos:
1) Calcule o valor da expressão ( 3
0
) ( 3
1
) ( 3
2
) ( 3
3
).
Resolução:
 ( 3
0
) ( 3
1
) ( 3
2
) ( 3
3
) é uma soma de linha do triângulo de Pascal; então, temos:
 ( 3
0
) ( 3
1
) ( 3
2
) ( 3
3
) = 23 = 8.
Resposta: 8.
2) Sabendo que
L4 = 1 4 6 4 1
L5 = 1 5 10 10 5 1
são duas linhas do Triângulo de Pascal, determine a L6.
Resolução:
Aplicando a relação de Stiffel, procede-se da seguinte maneira:
L4 = 1 4 6 4 1
L5 = 1 5 10 10 5 1
L6 = 1 a b c d e 1
onde:
1+5= 6 = a
5+10 = 15 = b
10+10= 20 = c
10+5= 15 = d
5+1= 6 = e
A linha L6 será 1 6 15 20 15 6 1
Resposta: L6 = 1 6 15 20 15 6 1.
3) Indique o binomial resultante da soma da coluna ( 1
1
) ( 2
1
)( 3
1
) ( 4
1
) do Triângulo de Pascal.
Resolução:
A soma de coluna é dada por (n+1
k+1
) e, então, teremos:
( 1
1
) ( 2
1
) ( 3
1
) ( 4
1
) = (4+1
1+1
) = ( 5
2
) 
Resposta: O binomial é ( 5
2
). 
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Unidade: Números Binomiais, Triângulo de Pascal e Binômio de Newton.
Atividades práticas:
1) Escreva a 7ª linha do triângulo de Pascal.
Resposta: A linha 7 será 1 7 21 35 35 21 7 1
2) Indique o binomial resultante da soma de diagonal ( 1
0
) ( 2
1
) ( 3
2
) ( 4
3
) do Triângulo 
de Pascal.
Resposta: O binomial é ( 5
3
). 
3) Se ( n
1
)+ ( n
2
)+ ( n
3
)+( n
4
)+(
n
5
) = 31, determine o valor de n.
Resposta: n = 5.
Binômio de Newton
Observe o desenvolvimento abaixo:
 · (x + y)0 = 1
 · (x + y)1 = 1x + 1y
 · (x + y)2 = 1x2y0 + 2x1y1 + 1x0y2
 · (x + y)3 = 1x3y0 + 3x2y + 3xy2 + 1x0y3
Os coeficientes de x e y são os números resultantes dos binomiais do triângulo de Pascal. 
Então, escreve-se:
 
17
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Unidade: Números Binomiais, Triângulo de Pascal e Binômio de Newton.
Exemplos:
1) Desenvolva, aplicando a fórmula do binômio de Newton (x+3)5
Resolução:
(x+3)5 = ( 5
0
)x5.30 +( 5
1
)x4.31 +( 5
2
)x3.32 + ( 5
3
)x2.33 + ( 5
4
)x1.34 + ( 5
5
)x0.35 
(x+3)5 = 1x5 + 5 x4.3 + 10.x3.32 + 10.x2.33 + 5.x.34 + 1.1.35
(x+3)5 = x5 + 15x4 + 90x3 + 270x2 + 405x + 243.
Resposta: (x+3)5 = x5 + 15x4 + 90x3 + 270x2 + 405x + 243.
2) Calcule o 5º termo no desenvolvimento de (x-3)5, ordenando-se segundo potências 
decrescentes de x.
Resolução:
O termo geral de (x+y)n é indicado por Tk+1 = (
n
k )x
n-k.yk 
O 5º termo tem k = 4; lembrando que n = 5, temos: 
T5 = T4+1 = (
5
4
)x5-4. (-3)4 = 5x.(-81) = -405x
Resposta: O 5º termo é -405x.
3) Qual o coeficiente de x3 no desenvolvimento de (x – 2y)4?
Resolução: 
Utilizando a fórmula do termo geral em (x – 2y)4, temos:
Tk+1 = (
4
k
)x4-k. (-2y)k 
Como queremos o coeficiente de x3, temos 4-k=3 e portanto k=1.
O termo, então, é o T1+1 = T2.
 T2 = T1+1 = (
4
k
)x4-1. (-2y)1 = 4.x3.(-2y) = -8 x3y.
Resposta: O coeficiente é -8.
Atividades práticas
1) Qual a soma dos coeficientes de (2x+y)6? 
Resposta: 729. 
2) Qual o valor do termo independente de x no desenvolvimento de (x + 1
y
)5?
Resposta: O valor do termo independente de x é 1
y
5.
3) Quantos termos possui o desenvolvimento de (x + y)20?
Resposta: 21 termos.
19
Números binomiais
Resolução das atividades práticas
1) Resolução: 
7
2
7 6 5
5 2
42
2
21
7
7
7 6 5 4 3 2 1
7 6 5 4 3





 = = =





 =
. . !
! !
. . . . . .
. . . . .22 1
1
2
7
0
.
=





 =
Resposta: 21,1,0.
2) Resolução:
8
3
8
3 5
8 7 6 5
3 5
8 7 6
3 2 1
8 7 56
4
4
8 7





 = = = = =





 =
!
! !
. . . !
! !
. .
. .
.
. .. . . . . .
. . . . . . .
6 5 4 3 2 1
8 7 6 5 4 3 2 1
1
2
8
0
=





 =
Logo S = 56+1.0 = 556
Resposta: 56.
3) Resolução:
(n+2
n+1
) = 4
Aplicando a definição de número binomial, temos:
(n+2)(n+1)!
(n+2-n-1)!(n+1!)!
= 4
Efetuando-se as operações, temos: 
(n+2)!
[(n+2) - (n+1]!(n+1!)!
 = 4
(n+2)
1
 = 4
n+2 = 4,
portanto:
n = 2
Resposta: S = { 2 }
20
Unidade: Números Binomiais, Triângulo de Pascal e Binômio de Newton.
Propriedades dos números binomiais
1) Resolução:
( 23
3n + 2
) = ( 23
8
)
a. os binomiais são iguais e, portanto, 3n+2 = 8 e n = 2.
b. os binomiais são complementares e, portanto, 3n+2+8 = 23
3n = 23 - 10
n=13/3 (não serve).
O menor valor de n é 2.
Resposta: 2. 
2) Resolução: 
Pela relação de Stiffel, temos, no 1º membro:
( 8
4
) + ( 8
5
) = ( 9
5
) ∴ ( 9
x
) = (
9
5
)
Temos duas opções de solução: a igualdade e binômios complementares:
 
a. os binomiais são iguais e, portanto, x = 5.
b. os binomiais são complementares e, portanto, x + 5 = 9 e logo x = 4.
Resposta: S = {4,5}.
3) Resolução:
Pela relação Stiffel, no 1º membro, temos:
( n
12
) + (
n
13
) = (
n+1
13
) ∴ (n+1
13
) = (
22
13
) ∴ n+1 = 22 ∴ n=21.
Resposta: n = 21.
Triângulo de Pascal
1) Resolução:
Lembre-se de que, na primeira coluna, todos os elementos são iguais a 1, assim como na 
linha 1. Depois basta ir aplicando a relação de Stiffel a partir da linha 2.
Veja:
0 1
1 1 1
2 1 (1+1=2) 1
3 1 (1+2=3) (2+1=3) 1
4 1 (1+3=4) (3+3=6) (3+1)=4 1
21
5 1 (1+4=5) (4+6=10) (6+4=10) (4+1=5) 1
6 1 (1+5=6) (5+10=15) (10+10=20) (10+5=15) (5+1=6) 1
7 1 (1+6=7) 6+15=21) (15+20=35) (20+15=35) (15+6=21) (6+1=7) 1
Ficamos, então, com:
Linha
 0 1
 1 1 1
 2 1 2 1
 3 1 3 3 1
 4 1 4 6 4 1
 5 1 5 10 10 5 1
 6 1 6 15 20 15 6 1
 7 1 7 21 35 35 21 7 1 
Resposta: A linha 7 será 1 7 21 35 35 21 7 1
2) A soma de diagonal é dada por ( k
0
) + (
k+1
1
) = (
k+2
2
) + …+ (
n
n - k
) = (
n + 1
n - k
)
Em ( 1
0
)+( 2
1
)+( 3
2
)+( 4
3
) temos que k = 1 e n = 4, portanto:
( 1
0
)+( 2
1
)+( 3
2
)+( 4
3
) = ( 4+1
4-1
) = ( 5
3
) 
Resposta: O binomial é ( 5
3
). 
3) Resolução:
Observe que a soma dos binomiais é uma soma de linha cujo resultado é 2n e que, nessa 
soma, está faltando o termo ( n
0
) = 1. Assim a soma pode ser expressa por:
2n – 1 = 31
Isolando 2n 
2n = 31 + 1
2n = 32
Resolvendo a equação:
2n = 25
Portanto: 
n = 5
Resposta; n = 5.
22
Unidade: Números Binomiais, Triângulo de Pascal e Binômio de Newton.
Binômio de Newton
1) Resolução:
Para se calcular a soma dos coeficientes de (2x+y)6 basta fazer x=y=1.
Temos, então, (2.1+1)6 = 36 = 729
Resposta: 729. 
2) Resolução:
(x + 1
y
)5 = (x + y-1)5 e o termo independente de x será aquele em que o expoente de x 
é zero.
Utilizando a fórmula do termo geral, temos:
Tk+1 = (
5
k
)x5-k. (y-1)k 
Fazendo 5-k=0, temos que k = 5 e o valor do Tk+1 = T5+1 = T6 (sexto termo) será:
T5+1 = T6 = (
5
5
)x5-5. (y-1)5 = 1.x0.y-5 = y-5 = 1
y
5 
Resposta: O valor do termo independente de x é 1
y
5 .
3) Resolução:
Observe que:
(x + y)2= x2 + 2xy + y2 possui 2+1=3 termos
(x + y)3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3 possui 3+1=4 termos
O número de termos em (x + y)20 será igual a 20+1=21.
Resposta: 21 termos.
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Material Complementar
Para pesquisar e aprofundar seus estudos sobre o assunto tratado nesta unidade, consulte 
os sites a seguir e pesquise a bibliografia indicada:
Site Matemática Didática:
 » http://www.matematicadidatica.com.br/numerobinomial.aspx
 » http://www.matematicadidatica.com.br/triangulodepascal.aspx
 » http://www.matematicadidatica.com.br/binomiodenewton.aspx
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Unidade: Números Binomiais, Triângulo de Pascal e Binômio de Newton.
Referências
BACHX, Arago de Carvalho et al. Prelúdio à Análise Combinatória. São Paulo: Editora 
Nacional, 1975
HAZZAN, Samuel. Combinatória e Probabilidade. Coleção Fundamentos de Matemática 
Elementar. São Paulo: Atual, 1992. 
LACAZ NETTO, Francisco Antonio. Lições de Análise Combinatória. São Paulo: Nobel, 1962
NOGUEIRA, Rio. Análise Combinatória. São Paulo: Atlas, 1975.
TROTTA, Fernando. Análise Combinatória, Probabilidades e Estatística. São Paulo: 
Scipione, 1988.
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Anotações
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