PC_2019-1_AD1-Q2_GABARITO

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AD1-Q2 – 2019-1 GABARITO Pré-Cálculo 
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CEDERJ 
Gabarito da Questão 2 da Avaliação a Distância 1 (AD1-Q2) 
Pré-Cálculo 
_____________________________________________________________________________________ 
Questão 2 [5,0 pontos] 
(a) [valor: 2,3] Considere a função 𝑓(𝑥) = 𝑥3, cujo gráfico está 
esboçado ao lado e considere as funções 𝑓1(𝑥), 𝑓2(𝑥), 𝑓3(𝑥) e 
𝑓4(𝑥) descritas nos itens (a.1) a (a.4). 
(a.1) [valor: 0,7] Se o gráfico da função 𝑓1(𝑥) é uma translação 
vertical de 1 unidade para cima do gráfico de 𝑦 = 𝑓(𝑥), encontre a 
expressão da função 𝑓1(𝑥) e esboce o seu gráfico, marcando as 
interseções com os eixos coordenados. 
(a.2) [valor: 0,7] Se o gráfico da função 𝑦 = 𝑓2(𝑥) é uma reflexão 
no eixo 𝑥 do gráfico de 𝑦 = 𝑓1(𝑥), encontre a expressão da função 
𝑓2(𝑥) e esboce o seu gráfico, marcando as interseções com os eixos coordenados. 
(a.3) [valor: 0,4] Se a função 𝑓3(𝑥) = |𝑓2(𝑥)|, encontre a expressão da função 𝑓3(𝑥) e esboce o seu gráfico, 
marcando as interseções com os eixos coordenados. 
(a.4) [valor: 0,5] Se a função 𝑓4(𝑥) = 𝑓3(|𝑥|), encontre a expressão da função 𝑓4(𝑥) e esboce o seu gráfico, 
marcando as interseções com os eixos coordenados. 
RESOLUÇÃO 
(a.1) Determinando expressão, 𝑓1(𝑥) = 𝑓(𝑥) + 1 = 𝑥
3 + 1. 
Interseção do gráfico com o eixo 𝑦: 
𝑥 = 0 e 𝑦 = 𝑓1(0) = 0
3 + 1 = 1 ⟹ 𝑦 = 1. 
Interseção do gráfico com o eixo 𝑥: 
𝑦 = 0 e 𝑦 = 𝑓1(𝑥) = 𝑥
3 + 1, logo para determinar os valores 
de 𝑥, temos que resolver 𝑥3 + 1 = 0. 
Resolvendo, 𝑥3 + 1 = 0 ⟺ 𝑥3 = −1 ⟺ 𝑥 = −1. 
O gráfico de 𝑓1(𝑥) = 𝑥
3 + 1 está esboçado ao lado. 
 
 
 
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(a.2) Determinando expressão, 𝑓2(𝑥) = −𝑓1(𝑥) = −(𝑥
3 + 1) = −𝑥3 − 1. 
Para marcar no gráfico da função 𝑓2 as interseções com os eixos, podemos usar a expressão 𝑓2(𝑥) = −𝑥
3 − 1 ou 
podemos usar as interseções do gráfico da função 𝑓1 do item (a.1). 
• Usando a expressão 𝑓2(𝑥) = −𝑥
3 − 1: 
Interseção do gráfico com o eixo 𝑦: 𝑥 = 0 e 𝑦 = 𝑓2(0) = −0
3 − 1 = −1 ⟹ 𝑦 = −1. 
Interseção do gráfico com o eixo 𝑥: 
𝑦 = 0 e 𝑦 = 𝑓2(𝑥) = −𝑥
3 − 1, logo para determinar os valores de 𝑥, temos que resolver −𝑥3 − 1 = 0. 
Resolvendo, −𝑥3 − 1 = 0 ⟺ 𝑥3 = −1 ⟺ 𝑥 = −1. 
• Usando os pontos de interseção encontrados no item (a.1): 
O ponto (0, 1) de interseção do gráfico da função 𝑓1 com o eixo 𝑦, 
refletido no 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑥, é transformado no ponto (0, −1) do gráfico da 
função 𝑓2, logo a interseção do gráfico da função 𝑓2 com o eixo 𝑦 
ocorre em 𝑦 = −1. 
O ponto (−1, 0) de interseção do gráfico da função 𝑓1 com o eixo 𝑥, 
refletido no 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑥 é transformado no próprio ponto (−1, 0) do 
gráfico da função 𝑓2, logo a Interseção do gráfico da função 𝑓2 com o 
eixo 𝑥 ocorre em 𝑥 = −1. 
O gráfico de 𝑓2(𝑥) = −𝑥
3 − 1 está esboçado ao lado. 
 
(a.3) 𝑓3(𝑥) = |𝑓2(𝑥)| = |−𝑥
3 − 1| = |−(𝑥3 + 1 )| = |𝑥3 + 1|. 
Para marcar no gráfico da função 𝑓3 as interseções com os eixos, podemos usar a expressão 𝑓3(𝑥) = |𝑥
3 + 1| ou 
podemos usar as interseções do gráfico da função 𝑓2 do item (a.2). 
• Usando a expressão 𝑓3(𝑥) = |𝑥
3 + 1|: 
Interseção do gráfico com o eixo 𝑦: 𝑥 = 0 e 𝑦 = 𝑓3(0) = |0
3 + 1| = |0 + 1| = 1 ⟹ 𝑦 = 1. 
Interseção do gráfico com o eixo 𝑥: 𝑦 = 0 e 𝑦 = 𝑓3(𝑥) = |𝑥
3 + 1|, logo para determinar os valores de 𝑥, 
temos que resolver |𝑥3 + 1| = 0. Resolvendo, |𝑥3 + 1| = 0 ⟺ 𝑥3 + 1 = 0 ⟺ 𝑥3 = −1 ⟺ 𝑥 = −1. 
• Usando os pontos de interseção encontrado no item (a.2): 
Para falarmos sobre isso, vamos primeiro ver como obter o gráfico de 𝑦 = 𝑓3(𝑥) 
a parte do gráfico de 𝑓2(𝑥) situada acima do eixo 𝑥 ou sobre o eixo 𝑥 deve ser mantida, 
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a parte do gráfico de 𝑓2(𝑥) situada abaixo do eixo 𝑥, deve ser 
refletida no eixo 𝑥 
Portanto o ponto (−1, 0) de interseção do gráfico da função 𝑓2 com 
o eixo 𝑥, é mantido no gráfico da função 𝑓3 e portanto, a interseção 
do gráfico da função 𝑓3 com o 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑥 ocorre em 𝑥 = −1. 
O ponto (0, −1) de interseção do gráfico da função 𝑓2 com o eixo 𝑦, 
refletido no 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑥, é transformado no ponto (0, 1) do gráfico da 
função 𝑓3 e a interseção do gráfico da função 𝑓3 com o 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑦 ocorre 
em 𝑦 = 1. 
 
 
(a.4) 𝑓4(𝑥) = 𝑓3(|𝑥|) = |−|𝑥|
3 − 1| = |−(|𝑥|3 + 1 )| = ||𝑥|3 + 1|. 
Para marcar no gráfico da função 𝑓4 as interseções com os eixos, podemos usar a expressão 𝑓4(𝑥) = ||𝑥|
3 + 1| ou 
podemos usar as interseções do gráfico da função 𝑓3 do item (a.3). 
• Usando a expressão 𝑓4(𝑥) = ||𝑥|
3 + 1|: 
Interseção do gráfico com o eixo 𝑦: 𝑥 = 0 e 𝑦 = 𝑓4(0) = ||0|
3 + 1| = |0 + 1| = 1 ⟹ 𝑦 = 1. 
Interseção do gráfico com o eixo 𝑥: 𝑦 = 0 e 𝑦 = 𝑓4(𝑥) = ||𝑥|
3 + 1|, logo para determinar os valores de 𝑥, 
temos que resolver ||𝑥|3 + 1| = 0. Resolvendo, 
||𝑥|3 + 1| = 0 ⟺ |𝑥|3 + 1 = 0 ⟺ |𝑥|3 = −1 ⟺ |𝑥| = √−1
3
 = −1. 
Essa equação não tem solução pois |𝑥| ≥ 0, para qualquer valor real de 𝑥. Portanto o gráfico de 𝑦 = 𝑓4(𝑥) não 
tem interseção com o eixo 𝑥. 
• Usando os pontos de interseção encontrado no item (a.3): 
Para falarmos sobre isso, vamos primeiro ver como obter o gráfico de 𝑦 = 𝑓4(𝑥): 
a parte do gráfico de 𝑓3(𝑥) situada à direita do eixo 𝑦 ou sobre o eixo 𝑦 deve ser mantida e depois foi refletida no 
eixo 𝑦; 
a parte do gráfico de 𝑓3(𝑥) situada à esquerda do eixo 𝑥 não entra na construção do gráfico da função 𝑓4(𝑥) =
𝑓3(|𝑥|). 
O ponto (−1, 0) de interseção do gráfico da função 𝑓3 com o 
eixo 𝑥 não entrará no gráfico da função 𝑓4. Além disso, no 
gráfico da função 𝑓3, na parte à direita do 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑦, não há 
interseção com o 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑥, logo não há ponto do 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑥 para 
manter na parte à direita do 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑦, nem para refletir no 
𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑦. Portanto, o gráfico de 𝑓4 não tem interseção com o 
𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑥. 
O ponto (0, 1) de interseção do gráfico da função 𝑓3 com o eixo 𝑦 deve ser mantido no gráfico da função 𝑓4 e a 
interseção do gráfico da função 𝑓4 com o eixo 𝑦 ocorre em 𝑦 = 1. 
 
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(b) [valor: 2,7] Considere a função 
𝑓(𝑥) = {
(𝑥 + 3)2 − 2 𝑠𝑒 − 5 ≤ 𝑥 < −2
−1 + √4 − 𝑥2 𝑠𝑒 − 2 ≤ 𝑥 ≤ 2
(𝑥 − 3)2 − 2 𝑠𝑒 2 < 𝑥 ≤ 5
 
e o gráfico de 𝑓 esboçado ao lado. 
(b.1) [valor: 1,2] Em cada um dos três intervalos, o gráfico de 𝑓 é parte de uma curva estudada em Pré-Cálculo. 
Identifique cada curva, justificando através de equações de curvas. Quando for o caso, identifique o vértice ou o 
centro e raio. Determine os pontos em que o gráfico de 𝑓 corta o 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑥 e o 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑦. 
(b.2) [valor: 0,5] Dê a imagem da função e diga em quais intervalos do domínio a função é crescente. 
(b.3) [valor: 0,4] Verifique que 𝑓(−1) = 𝑓(1) e 𝑓(−3) = 𝑓(3). 
(b.4) [valor: 0,4] A função 𝑓 é par? Ímpar? Nem par, nem ímpar? Para justificar sua resposta, use as duas 
condições da definição de função par ou de função ímpar. 
(b.5) [valor: 0,2] O gráfico de 𝑓 tem simetria? Em relação a que? 
RESOLUÇÃO 
(b.1) Analisando em cada intervalo. 
• Se −5 ≤ 𝑥 < −2, 𝑦 = (𝑥 + 3)2 − 2. 
Essa é a forma canônica da função quadrática 𝑦 = 𝑎(𝑥 − ℎ)2 − 𝑘, onde 𝑎 = 1, ℎ = −3 e 𝑘 = 2, cujo gráfico é 
uma parábola. Como 𝑎 = 1 > 0, é uma parábola com concavidade para cima. E o vértice 𝑉 = (ℎ, 𝑘) = (−3, 2). 
Como −5 ≤ 𝑥 < −2, a curva é a parte da parábola situadaente as retas de equações 𝑥 = −5 e 𝑥 = −2. 
• Se 2 < 𝑥 ≤ 5, 𝑦 = (𝑥 − 3)2 − 2. 
Essa é a forma canônica da função quadrática 𝑦 = 𝑎(𝑥 − ℎ)2 − 𝑘, onde 𝑎 = 1, ℎ = 3 e 𝑘 = −2, cujo gráfico é 
uma parábola. Como 𝑎 = 1 > 0, é uma parábola com concavidade para cima. E o vértice 𝑉 = (ℎ, 𝑘) = (3, −2). 
Como 2 < 𝑥 ≤ 5 , a curva é a parte da parábola situada ente as retas de equações 𝑥 = 2 e 𝑥 = 5 . 
• Se −2 ≤ 𝑥 ≤ 2, 𝑦 = −1 + √4 − 𝑥2. 
Nesse caso precisamos fazer contas para identificar a curva: 
𝑦 = −1 + √4 − 𝑥2 ⟺ 𝑦 + 1 = √4 − 𝑥2 ⟺ (𝑦 + 1)2 = (√4 − 𝑥2)
2
 e 𝑦 + 1 ≥ 0 ⟺ 
(𝑦 + 1)2 = 4 − 𝑥2 e 𝑦 ≥ −1 ⟺ 𝑥2 + (𝑦 + 1)2 = 4 e 𝑦 ≥ −1. 
𝑥2 + (𝑦 + 1)2 = 4 Essa é a forma canônica da equação de uma circunferência, (𝑥 − ℎ)2 + (𝑦 − 𝑘)2 = 𝑟2, 
de centro 𝐶(ℎ, 𝑘) e raio 𝑟. Nesse caso, ℎ = 0, 𝑘 = −1 e 𝑟 = 2. O centro 𝐶(0, −1) e o raio 𝑟 = 2. 
Como 𝑦 ≥ −1, a curva é a semicircunferência superior, fica situada acima da reta de equação 𝑦 = −1. 
Determinando as interseções do gráfico com os eixos. 
• Com o 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑦: 𝑥 = 0. 
Como −2 < 0 < 2, 𝑓(0) = −1 + √4 − 02 = −1 + 2 = 1 𝑦 = 1. 
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• Com o 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑥: 𝑦 = 0. Precisamos resolver 𝑓(𝑥) = 0. 
Resolvendo em cada um dos intervalos que definem as expressões: 
• Se −5 ≤ 𝑥 < −2, 𝑓(𝑥) = (𝑥 + 3)2 − 2 = 0. Resolvendo, 
(𝑥 + 3)2 − 2 = 0 ⟺ (𝑥 + 3)2 = 2 ⟺ √(𝑥 + 3)2 = √2 ⟺ 
|𝑥 + 3| = √2 ⟺ 𝑥 + 3 = √2 ou 𝑥 + 3 = −√2 ⟺ 𝑥 = −3 + √2 ou 𝑥 = −3 − √2. 
Verificando se cada solução está no intervalo −5 ≤ 𝑥 < −2. 
−3 + √2 ≅ −3 + 1,4 ⟹ −3 + √2 ≅ −1,6 > −2. A solução 𝑥 = −3 + √2 não está no intervalo. 
−3 − √2 ≅ −3 − 1,4 ⟹ −3 − √2 ≅ −4,4 , − 5 < −4,4 < −2 ⟹ −5 < −3 − √2 < −2. 
A solução 𝑥 = −3 − √2 está no intervalo, logo uma interseção com eixo 𝑥 é em 𝑥 = −3 − √2. 
• Se 2 < 𝑥 ≤ 5, 𝑓(𝑥) = (𝑥 − 3)2 − 2 = 0. Resolvendo, 
(𝑥 − 3)2 − 2 = 0 ⟺ (𝑥 − 3)2 = 2 ⟺ √(𝑥 − 3)2 = √2 ⟺ 
|𝑥 − 3| = √2 ⟺ 𝑥 − 3 = √2 ou 𝑥 − 3 = −√2 ⟺ 𝑥 = 3 + √2 ou 𝑥 = 3 − √2. 
Verificando se cada solução está no intervalo 2 < 𝑥 ≤ 5. 
3 + √2 ≅ 3 + 1,4 ⟹ 3 + √2 ≅ 4,4 , 2 < 4,4 < 5 ⟹ 2 < 3 + √2 < 5. 
A solução 𝑥 = 3 + √2 está no intervalo, logo uma interseção com eixo 𝑥 é em 𝑥 = 3 + √2. 
3 − √2 ≅ 3 − 1,4 ⟹ 3 − √2 ≅ 1,6 < 2. A solução 𝑥 = 3 − √2 não está no intervalo. 
• Se −2 ≤ 𝑥 ≤ 2, 𝑓(𝑥) = −1 + √4 − 𝑥2 = 0. Resolvendo, 
−1 + √4 − 𝑥2 = 0 ⟺ √4 − 𝑥2 = 1 ⟺ 12 = 4 − 𝑥2 ⟺ 𝑥2 = 3 ⟺ 𝑥 = √3 ou 𝑥 = −√3. 
Verificando se cada solução está no intervalo −2 ≤ 𝑥 ≤ 2. 
√3 ≅ 1,7 e −2 < 1,7 < 2 ⟹ −2 < √3 < 2. A solução 𝑥 = √3 está no intervalo, logo uma 
interseção com eixo 𝑥 é em 𝑥 = √3. 
−√3 ≅ −1,7 e −2 < −1,7 < 2 ⟹ −2 < −√3 < 2. A solução 𝑥 = −√3 está no intervalo, 
logo uma interseção com eixo 𝑥 é em 𝑥 = −√3. 
Concluindo, as interseções do gráfico com o 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑥: 
𝑥 = −3 − √2 ou 𝑥 = 3 + √2 ou 𝑥 = −√3 ou 𝑥 = √3 
 
 
(b.2) Para facilitar, vamos visualizar no gráfico de 𝑓 alguns pontos determinados no item (b.1). 
Para determinar a imagem e os intervalos do domínio e que a função é crescente, vamos calcular 𝑓(−5) e 𝑓(5) e 
marcar mais pontos no gráfico. 
Como −5 está no intervalo −5 ≤ 𝑥 < −2, 𝑓(−5) = (−5 + 3)2 − 2 = 4 − 2 = 2. 
Como 5 no intervalo 2 < 𝑥 ≤ 5, 
𝑓(5) = (5 − 3)2 − 2 = 4 − 2 = 2. 
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Projetando o gráfico no eixo 𝑦 concluímos que 
 𝐼𝑚(𝑓) = [−2, 2]. 
Vemos que as partes do gráfico que representam 
função crescente estão entre os pontos (−3, −2) e 
(0, 1) ou entre os pontos (3, −2) e (5, 2). Projetando 
essas partes no eixo 𝑥 concluímos que a função é 
crescente nos intervalos do domínio [−3, 0] ou [3, 5]. 
 
(b.3) Como −2 < −1 < 2, 𝑓(−1) = −1 + √4 − (−1)2 = −1 + √4 − 1 = −1 + √3. 
Como −2 < 1 < 2, 𝑓(1) = −1 + √4 − (1)2 = −1 + √4 − 1 = −1 + √3. 
Logo, 𝑓(−1) = 𝑓(1). 
Como −5 < −3 < −2, 𝑓(−3) = (−3 + 3)2 − 2 = −2. 
Como 2 < 3 < 5, 𝑓(3) = (3 − 3)2 − 2 = −2. 
Logo, 𝑓(−3) = 𝑓(3). 
Observação: outra maneira de verificar que 𝑓(−3) = 𝑓(3) seria verificar direto pelo item (a.1) pois são os vértices 
das parábolas. 
 
(b.4) 𝐷𝑜𝑚(𝑓) = [−5, 5] é simétrico em relação à origem da reta numérica, ou equivalentemente 
𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑓) = [−5, 5] e −𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑓) = [−5, 5]. Logo a primeira condição de função par ou de função ímpar 
está satisfeita. 
Para verificar a segunda condição é preciso verificar nos intervalos simétricos, ou seja, supor 𝑥 e −𝑥 em intervalos 
simétricos. 
• Se −2 ≤ 𝑥 ≤ 2, então 2 ≥ −𝑥 ≥ −2, ou seja −2 ≤ −𝑥 ≤ 2, logo 
𝑓(−𝑥) = −1 + √4 − (−𝑥)2 = −1 + √4 − 𝑥2 = 𝑓(𝑥) e a segunda condição de função par está satisfeita no 
intervalo −2 ≤ 𝑥 ≤ 2. 
• Se 2 < 𝑥 ≤ 5, então −2 > −𝑥 ≥ −5, ou seja −5 ≤ −𝑥 < −2, logo 
𝑓(𝑥) = (𝑥 − 3)2 − 2 e 𝑓(−𝑥) = (−𝑥 + 3)2 − 2 = (−(𝑥 − 3))
2
− 2 = (𝑥 − 3)2 − 2 = 𝑓(𝑥) e a 
segunda condição de função par está satisfeita no intervalo 2 < 𝑥 ≤ 5. 
• Se −5 ≤ 𝑥 < −2, então 5 ≥ −𝑥 > 2, ou seja 2 < −𝑥 ≤ 5, logo 
𝑓(𝑥) = (𝑥 + 3)2 − 2 e 𝑓(−𝑥) = (−𝑥 − 3)2 − 2 = (−(𝑥 + 3))
2
− 2 = (𝑥 + 3)2 − 2 = 𝑓(𝑥) e a 
segunda condição de função par está satisfeita no intervalo −5 ≤ 𝑥 < −2. 
Logo, provamos que para todo 𝑥 ∈ 𝑑𝑜𝑚(𝑓) = [−5, 5], 𝑓(−𝑥) = 𝑓(𝑥), isto é, provamos que a função 𝑓 satisfaz a 
segunda condição da definição de função PAR em todos os pontos do domínio de 𝑓. 
Conclusão: a função 𝑓 é PAR. 
 
(b.5) Com a função 𝑓 é PAR, o gráfico de 𝑓 é simétrico em relação ao eixo 𝑦.