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Universidade Federal do Rio Grande do Norte Escola de Cieˆncia e Tecnologia Motivac¸a˜o - Autovalores e Autovetores Fabiana T. Santana Fabiana T. Santana UFRN-ECT A´lgebra Linear 1 / 11 Refereˆncias Bibliogra´ficas: 1. H. Anton, C. Rorres. A´lgebra Linear com Aplicac¸o˜es. 8a ed. Porto Alegre: Bookman, 2001. Fabiana T. Santana UFRN-ECT A´lgebra Linear 2 / 11 Motivac¸a˜o - Autovalores e Autovetores Observe as elipses abaixo: Focos sobre os eixos xy x2 4 + y2 9 = 1 ou 9x2 + 4y2 − 36 = 0 Focos sobre os eixos x′y′ (Rotacionada) 5x2 − 4xy + 8y2 − 36 = 0 Fabiana T. Santana UFRN-ECT A´lgebra Linear 3 / 11 Motivac¸a˜o - Autovalores e Autovetores Definic¸a˜o 0.1 As formas quadra´ticas sa˜o func¸o˜es da forma a1x 2 1 + a2x 2 2 + . . .+ anx 2 n + f(x) onde f(x) e´ a soma de todos os termos poss´ıveis do tipo akxixj para i < j. Exemplo 0.1 (a) Forma quadra´tica nas varia´veis x1 e x2: a1x 2 1 + a2x 2 2 + a3x1x2 Fabiana T. Santana UFRN-ECT A´lgebra Linear 4 / 11 Motivac¸a˜o - Autovalores e Autovetores Definic¸a˜o 0.2 A equac¸a˜o ax2 + 2bxy + cy2 + dx+ ey + f = 0 onde a, b, . . . , f sa˜o nu´meros reais na˜o todos nulos e´ chamada equac¸a˜o quadra´tica em x e y e ax2 + 2bxy + cy2 e´ chamada forma quadra´tica associada. Os gra´ficos das equac¸o˜es quadra´ticas em x e y podem ser: elipses, hipe´rboles, para´bolas e c´ırculos. Fabiana T. Santana UFRN-ECT A´lgebra Linear 5 / 11 Motivac¸a˜o - Autovalores e Autovetores Figura : Elipse ou c´ırculo cujas equac¸o˜es na˜o possuem produto misto. Figura : Elipse rotacionada ou transladada cujas equac¸o˜es possuem produto misto. Fabiana T. Santana UFRN-ECT A´lgebra Linear 6 / 11 Motivac¸a˜o - Autovalores e Autovetores Representac¸a˜o Matricial de Formas Quadra´ticas Uma forma quadra´tica pode ser representada por → x T A → x, onde → x e´ o vetor-coluna das varia´veis e A e´ uma matriz sime´trica cujas entradas na diagonal aii sa˜o os coeficientes dos termos x 2 i e as entradas aij e aji sa˜o a metade dos coeficientes dos termos xixj . Fabiana T. Santana UFRN-ECT A´lgebra Linear 7 / 11 Motivac¸a˜o - Autovalores e Autovetores Exemplo 0.2 (a) 9x2 + 4y2 − 36 = 0⇒ [x y] [9 0 0 4 ] [ x y ] = 36 (b) 5x2 − 4xy + 8y2 − 36 = 0⇒ [x y] [5 2 2 4 ] [ x y ] = 36 Fabiana T. Santana UFRN-ECT A´lgebra Linear 8 / 11 Motivac¸a˜o - Autovalores e Autovetores 9x2 + 4y2 − 36 = 0 ou [x y] [9 0 0 4 ] [ x y ] = 36 O gra´fico e´ uma elipse em R2. Base ortonormal de R2 e´ {(1, 0), (0, 1)}. As entradas da diagonal da matriz indicam as intersec¸o˜es com os eixos x e y. Fabiana T. Santana UFRN-ECT A´lgebra Linear 9 / 11 Motivac¸a˜o - Autovalores e Autovetores 5x2 − 4xy + 8y2 − 36 = 0 ou [x y] [5 2 2 4 ] [ x y ] = 36 A matriz na˜o fornece as intersec¸o˜es com os eixos. Queremos encontrar uma base ortonormal de vetores → v1, → v2 para que a matriz informe as intersec¸o˜es com os novos eixos x′ e y′ gerados → v1 e→ v2. Colocando os vetores da base ortonormal {(2/√5, 1/√5), (−1/√5, 2/√5)} nas colunas da matriz P , a mudanc¸a de varia´veis → x= P → x′ dara´ origem a` nova equac¸a˜o[ x′ y′ ] [4 0 0 9 ] [ x′ y′ ] = 36. Fabiana T. Santana UFRN-ECT A´lgebra Linear 10 / 11 Motivac¸a˜o - Autovalores e Autovetores Problema Como obter os vetores → v1 e → v2? Qual e´ a relac¸a˜o das entradas da diagonal da matriz [ 4 0 0 9 ] com os vetores → v1 e → v2? Fabiana T. Santana UFRN-ECT A´lgebra Linear 11 / 11
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